第15章 二次型 概念导航

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主线

第14章问的是”能不能换坐标让矩阵变简单”。本章把同一个问题换到二次函数上：能不能换坐标，让一个二次多项式只剩平方项？

一句话串起全章：

换坐标能改的只有 的大小，改不掉的是”几正、几负、几零”。 惯性定理就是这句话，本章一切判定题——合同、正定、曲面类型、规范形——都在数这三个数字。

而正交变换是这条链上的特殊点：它既是合同变换又是相似变换，所以此时 必须是特征值——第14章的全部工具在这里原封不动地接上。

三个层级的对照表

层级	变换	保住什么	标准形系数	唯一吗
任意可逆	合同	秩、正负惯性指数	任意实数	否
正交	合同 + 相似	再加上特征值本身	必须是特征值	差一个排序
归一化后	合同	——	只能是 1、-1、0	是（规范形）

三种关系的判据

关系	定义	完全不变量
等价	B = PAQ	秩
相似	B = P 逆 AP	全体特征值 + 每个特征值的几何重数
合同	B = P 转置 AP	秩 + 正惯性指数

相似与合同互不包含，唯一的交汇点是正交变换。

核心概念

• 二次型与它的矩阵——互译规则；为什么必须对称；平方和型的四件事
• 合同与惯性定理——三种关系的判据；求合同变换矩阵的两段接力
• 标准形与规范形——三个”形”的区别；纯交叉项的三招；三件套定号
• 主轴定理与正交化简——五步流程；结构型读谱；反求参数
• 正定矩阵的等价刻画——八条刻画；正定零件速查表
• 瑞利商与二次型的界——谱夹逼；题面翻译表；广义瑞利商
• 二次型与二次曲面——五张高清图解与可旋转三维图；分类表；母线方向；含一次项的化简
• 正定平方根与极分解——唯一性从何而来；一行公式

典型题型

• 二次型的矩阵、秩与平方和型（10 题）——对称化；
• 标准形、规范形与惯性指数（7 题）——纯交叉项走三件套
• 正交变换化标准形（12 题）——本章解答题主力
• 配方法与可逆线性变换（6 题）——；同时对角化两个二次型
• 合同的判定与过渡矩阵（16 题）——本章最大题型
• 正定的判定（12 题）——八条刻画的辨析
• 含参二次型的正定范围（5 题）——顺序主子式取交集
• 二次型的最值与瑞利商（8 题）——单位球最值； 双正定
• 二次曲面的分类（7 题）——查表；母线方向；带一次项的化简
• 正定平方根与矩阵分解（6 题）——一行公式；极分解
• 由谱反求二次型（11 题）——条件的八种伪装
• 由 A 的谱推导出矩阵的规范形（6 题）——零化多项式 + 定重数

方法模板

一、二次型 ↔ 矩阵

题给矩阵 不对称时，先取 —— 与 的谱毫无关系（只有迹相同，这正是最迷惑人的巧合）。

二、平方和型：一眼四件事

半正定（）；；；。

凡题干长成 ，第一反应是把三个括号的系数抄成 ，然后算 。

三、正交变换五步（与第14章一字不差）

1. 写出对称的 ；
2. 求全部特征值（优先用结构：、、行和、已知标准形）；
3. 每个 解 ；
4. 同一特征值内施密特（不同特征值自动正交）；
5. 单位化拼 ，列序必须与标准形系数序逐位对应。

已知标准形反求参数：、，解出后必须回代验谱。

四、配方法与方向

配方直接得到的是 ，而题目要的 中 。少求一次逆就是零分。

化到指定 ：中间站取规范形，

五、正定的八条刻画

特征值全正；；全部顺序主子式全正；与 合同；（ 可逆）；；（ 正定）； 正定。

三个坑： 必须可逆；顺序主子式判据要求 对称；半正定要看全部主子式，不是顺序主子式。

六、瑞利商

与 都正定；最小的 使 成立者是谱半径 。

七、由谱反求 的一行公式

的特征子空间由单个 张成、其余全属 时，

的特征向量一个都不用求。 本章大题的计算量有一半靠它砍掉。

八、二次曲面

先求谱、数符号、查表；右端的数必须读进去（同一个谱在 下给出双曲面—锥面—双曲面三兄弟）；不含一次项时，柱面母线方向 的特征向量。带一次项时，若中心方程 有解，可先平移到中心（常数项变成 ）再转轴，也可先转轴再配方；中心方程无解时需另行处理一次项，不能直接套 的分类表。

易错点

完整清单见 第15章易错点（31 条，本章密度最高）。前八条：

1. 配方法算出 却忘了求逆；
2. 题给矩阵不对称却直接求它的特征值；
3. 用 与 反求参数后不回代验谱；
4. 只对齐秩，忘了对齐惯性指数；
5. 忘了要求 可逆；
6. “负惯性指数为 0”当成正定；
7. 顺序主子式判据漏掉” 对称”的前提；
8. 半正定去查顺序主子式（应查全部主子式）。

复习顺序

三轮分别是”打地基（约 40 题）—拉开差距（约 40 题）—综合应用（约 21 题）“，详见 题库页 的复习顺序一节。

与前后章的接口

来自第10章 行列式

1. 顺序主子式就是逐级算行列式，正定判据的主力工具；
2. 配方系数满足 （ 为顺序主子式），是配方结果的免费自查；
3. 三阶特征多项式 里的 （二阶主子式之和），在纯交叉项题里比展开更快；
4. 范德蒙德行列式用来证明一组多项式取值向量列满秩，从而判 正定。

来自第11章 矩阵

1. ——平方和型秩的来源，也是” 正定 列满秩”的根据；
2. ——由 反求 的第一步；
3. 初等矩阵中的对换阵既对称又正交，所以”行列同时对换”一举既相似又合同；
4. 、 的求逆公式，在求正定平方根、极分解时反复用到；
5. 矩阵方程的化简手法（把含 的项归拢提公因式），用来从 解出 。

来自第12章 向量

1. 施密特正交化——同一特征值内部的基础解系必须正交化；
2. 过渡矩阵：，合同就是度量矩阵在换基下的变换法则；
3. 柯西—施瓦茨不等式：秩 1 型 的最值可以一行秒杀，；也用来判 型的秩。

来自第13章 线性方程组

1. 的解集就是 的解空间（半正定时），全章反复使用；
2. ” 有唯一解"" 只有零解”是列满秩的伪装，直接翻译成 正定；
3. ” 与 同解 “，用来定参数；
4. 伴随秩三分法（ / / ）用于 的通解与 的谱。

来自第14章 相似矩阵（最密的一条）

1. 实对称必可正交对角化 = 主轴定理：五步流程一字不改，区别只在把 读成 ；
2. 谱分解 ：反求 、求正定平方根、求 ，全靠它；
3. 正交补补全信息：实对称阵只有两个特征值时，知道一个特征向量就自动知道另一个特征子空间——“一行公式”的来源；
4. 、 的谱：含参正定、二次曲面判型的第一快捷键；
5. 伴随的谱 （可逆）与 （通用）；
6. 零化多项式定候选、秩/迹/行列式定重数：第十二节的全部内容；
7. 两段接力 变成合同版的 、正交版的 ；
8. 谱相同 相似在本章的对应命题是惯性指数相同 谱相同——合同比相似弱。

如果第14章扎实，本章真正的新东西只有三样：惯性定理、正定的判定、瑞利商。

通向概率论

1. 协方差矩阵永远半正定：——这就是本章""的概率版本；
2. 多维正态分布的密度里出现 ，等高面正是椭球； 正定是密度存在的前提；
3. 主轴 = 主成分：正交对角化 得到的特征向量就是相互独立的正态分量方向，特征值就是各方向的方差；
4. 二维正态的独立性 是对角阵——“消掉交叉项”在概率里的含义是”消掉相关性”；
5. 有一道真正的联动题：概率第18章 1000 强化 4-3 让二次型的系数本身是随机变量——

问 正定的概率。做法是本章的顺序主子式 + 概率的面积比：前两个主子式恒正，，于是所求即 （抛物线分割矩形，答案 ）。 本章的”读矩阵”规则在这里是得分点： 对应 （交叉项系数要对半分），取成 就全错。 见 二维几何概型与线性变换。

6. 协方差矩阵的正式登场在概率第19章，见 协方差矩阵与半正定性。那里有一道直接考本章公式的题（1000 基础 4-17）：二维正态 旋转 角后要求两个新分量独立，答案是

与本章二次型 消交叉项的 完全同型——因为 就是 的非对角元 。题目要求 ，正是因为 时 有重特征值、等高线是圆，任何方向都是主轴， 不唯一。见 双线性展开。 7. 就是二阶主子式非负：。同理三个变量的三个相关系数不能任意取—— 给出 ，所以不可能有三个变量两两相关系数都是 。

概率论的入口在 第16章 随机事件及其概率（那里已经出现了本章的最简形式： 列联表的行列式），协方差矩阵与主轴的正式登场在 第19章 随机变量的数字特征（题库），它所依托的二维正态在 第18章 多维随机变量（题库）。

链接

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• 高数接口：高数第17章 局部线性几何与场论（曲面的切平面与法向量）
• 易错清单：第15章易错点