二次型与它的矩阵

核心问题

一个元二次齐次多项式，为什么能、也应该被写成？这个凭什么必须对称，不对称会怎样？

称为的矩阵，称为的秩。

方向	做法
	的系数整个放；的系数对半分给

是一个数，故，于是，即：无穷多个给出同一个二次型，但其中恰有一个对称。 约定取对称的那个，二次型与矩阵才成为一一对应，” 的秩"" 的特征值”才有意义。

不 对 称 时 ， 的 矩 阵 是

一眼读出四件事：

标 准 形 中 非 零 项 的 重 数

由它得极平面公式：在其上一点处的切平面是。

把看成一把尺子：是”用这把尺子量得到的平方长度”。

对称性的直觉：尺子量和量必须一样，量时与的地位也必须对称—— 与的”分工”是人为的，取平均才是唯一自然的选择。

交叉项系数忘了除以 2

对应的是，不是 6。反过来从写时要乘回 2。

对不对称的直接求特征值

与的谱毫无关系（只有迹相同——这恰恰是最迷惑人的巧合）。题目故意把矩阵写得不对称时，第一步必须对称化。

与差一倍

前者是双重无约束求和，系数直接是矩阵元；后者只数一遍，交叉项系数是矩阵元的 2 倍。

的解集不一定是的解集

只有 **半正定（或半负定）**时两者才等价。时是两条直线，而只有原点。