第15章 二次型 易错清单
按”出现频率 × 扣分幅度”排序，前八条是重灾区。
1. 配方法算出
错在哪：配方直接得到的是
正确动作：写完配方，回头确认方向——手上的矩阵是把
典型：880 基础选择 7 的选项 B 就是
自查：
2. 题给矩阵不对称却直接求它的特征值
错在哪：
唯一相同的是迹——这恰恰是最容易让人误以为”没问题”的巧合。
典型：1000 强化 9-12 的
记法：题目把矩阵写得不对称，一定是故意的。
3. 用
错在哪：这两条只保证”和相等、积相等”，不保证特征值逐个相等。
典型：880 综合解答 6 中
正确动作：回代验谱是必答步骤，不是保险动作。
4. 只对齐秩，忘了对齐惯性指数
错在哪：合同的完全不变量是秩 + 正惯性指数两个，缺一不可。
典型：880 综合选择 9 里若只对齐秩，
含参题的固定顺序：秩对齐
5.
错在哪：
典型：880 基础选择 6 的 A 选项。
记法：
6. “负惯性指数为 0”当成正定
错在哪：
补法：加上
同族错误：只算
7. 顺序主子式判据漏掉”
错在哪：整套顺序主子式理论建立在实对称的前提上。
反例：
典型：1000 基础 6-11 的结论 ①，题干故意只说”
同族：结论 ②”
8. 半正定去查顺序主子式
错在哪：
反例：
记法：正定可以只看顺序的，半正定不行。 这个不对称性是本章最容易记反的一条。
9. 标准形缺项时漏掉那个 0
错在哪：3 元二次型的标准形本该三项，题目只写两项说明第三个特征值是 0。
典型：880 基础填空 2 的”标准形为
同族提示语：“秩为 2”、"
10. 含参题只用
错在哪：
典型：
- 1000 基础 6-13：
与 都让 ，但 时 ，秩掉到 1； - 1000 强化 9-26：
时零特征值是二重的，秩为 1，方程无实解而非柱面。
加速观察：
11. 目标矩阵不对称却去找
错在哪：
一票否决：目标
典型：880 综合选择 7 的 A、C 两项；1000 基础 6-7 第（2）问”是否存在正交
注意方向：
12. “合同”与”正交变换”的强度分不清
典型对照：
- 880 基础解答 4：第（I）问只要合同
；第（II）问加正交 一个点； - 880 综合解答 4：合同时
都行，正交时只剩 。
记法：题目从”合同”升级到”存在正交矩阵”，第一反应就是”该比谱了”。
13.
错在哪：
后果：把两列对调，得到的标准形数学上仍正确，但与题目要求的形式不符，判错。
正确动作：写完
14. 不同特征值的特征向量也去施密特
错在哪：实对称阵不同特征值的特征向量自动正交，只有同一特征值内部才需要施密特。
后果：不会错但浪费时间，且多算一步多一次出错机会。
反向提醒：同一特征值内部的两个基础解系向量往往不正交（如
15. 求最值点时忘了用完附加条件
错在哪：
典型：880 综合解答 9，
正确动作：写出特征子空间的一般元素
16. “最小的
取的是绝对值的最大。谱是
同族：求
17. 严格不等号与端点开闭搞反
典型：880 综合选择 8 的选项 D 把右端点闭上了；
18. 右端的数没读进去
错在哪：同一个谱，
典型：1000 基础 6-26 的右端是 0，答案是锥面而不是双曲面。
19. 秩 1 的情形答成柱面
错在哪：柱面要求秩恰为 2。秩 1 时
典型：1000 强化 9-10 第（3）问。
同族：漏掉”圆”字——圆柱面要求两个非零系数相等，不只是同号。
20. 带一次项的曲面先转轴后平移
错在哪：先做正交变换，一次项会变成
正确顺序：先平移到中心消一次项（
常数项速算：
21.
正确写法（对可逆与奇异一律适用）：
典型：880 拓展解答 4 第（III）问，
22. 求
错在哪：
正确顺序：标准形（或
典型：880 综合解答 8、880 综合解答 2 都是这个顺序。
23. "
错在哪：
正确动作：列出符号组合，用
典型：1000 基础 6-12 用
24.
| 要求 | 限制 | 唯一吗 | 怎么求 |
|---|---|---|---|
| 无穷多（ | 配方法 | ||
| 正定（含对称） | 唯一 | 谱分解 |
后果：要
唯一性只在”正定”限定下成立：
25. 对
错在哪：
正确动作：
只判断
典型：880 综合选择 11，
26.
典型：880 基础选择 6 的 C 选项、1000 强化 9-25 的 (D) 选项，栽的是同一个点。
27.
前者是双重无约束求和，系数直接是矩阵元；后者只数一遍，交叉项系数是矩阵元的 2 倍。
记法：写成
典型：1000 强化 9-5 的
28.
错在哪：只有
降级手法的正确形式：
前提是能写成
29. 纯交叉项就以为
错在哪：
对照：
正确顺序：先定秩，再定符号分配（
30. 环状平方和的奇偶律记反
反直觉的对照：
- 3 元：
退化（3 个负号，奇），而全加号的正定； - 4 元：全负号与全加号都退化（负号个数为偶），只有负号个数为奇时才正定。
记法：不要凭”减号看着像退化”猜，把
31. 忽略”冗余条件”，反而找不到真正的机制
有些条件是出题人给的冗余保险（如 1000 强化 9-19 里三个方程都指向同一个
做完题回头问一句”哪个条件我没用到”——若有条件完全没用上，多半是漏了一个分岔或用错了方法。
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