正定矩阵的等价刻画

🏠 第15章概念导航

核心问题

“正定”有八九种等价说法。每一种适合什么场合？哪些说法差一个字就失效？

核心定义 / 定理 / 结论

定义

正 定 实 对 称 ， 且

八条等价刻画

#	条件	最适合的场合
1	全部特征值	抽象题、含参题
2	正惯性指数（规范形）	与合同题接轨
3	全部顺序主子式	具体数字矩阵，最快
4	与合同	判”与合同”
5	存在可逆，	构造题
6	存在可逆，	同上，反方向
7	存在正定，	平方根题
8	正定	伴随、逆的连锁

半正定的等价刻画

半 正 定 可 奇 异 全 部 主 子 式

正定可以只看顺序主子式，半正定不行

的顺序主子式是，都，但不半正定。半正定必须查全部主子式（个），这个不对称性是本章最容易记反的一条。

正定”零件”速查表

形状	结论	升级为正定的条件
（为）	半正定	（列满秩）
	半正定，秩 1	时永不正定
	半正定	系数阵列满秩
	半正定	张满空间
（正定，为）	半正定
（正定）	正定	恒成立
	正定	正定即可
与正定阵合同	正定	恒成立（对称性自动推出）

核心一行

非负是白送的；严格正取决于能否为零，也就是的列是否满秩。本章几乎每道正定证明题的核心都是这一行。

含参正定的两条路

矩阵长相	走哪条
普通数字 + 参数散落	顺序主子式全正，联立取交集
、、平方和型	直接读谱或

阶 正 定

典型题型

从四个具体矩阵里挑正定的 —— 先扫对角线（零成本），再算顺序主子式；
含参求正定范围 —— 逐个算取交集，或用结构读谱；
证明正定、正定的充要条件；
判断题：哪些说法漏了”可逆""对称""全部”。

图示 / 直觉

正 定 的 等 高 面 是 一 个 椭 球 曲 面 是 开 口 向 上 的 碗

碗底在原点，任何方向走出去都增大——这就是""；
半正定 = 碗底变成一条槽（某些方向上是平的）；
不定 = 马鞍面。

顺序主子式的直觉：说的是”把注意力限制在前个坐标构成的子空间上，仍然是碗”。一层层往上检查，全部通过才是整体的碗。

常见误用

忘了要求可逆

不要求可逆只得半正定。这是最高频的送分陷阱。

"负惯性指数为 0"不等于正定

允许有零特征值。要补上或” 可逆”。

顺序主子式判据忘了" 对称"的前提

的都为正，但它不对称，在处取 0。

只算

的行列式为正却远非正定。 只说明负特征值个数是偶数。

与

$正定$

" 与正定阵相似正定"要先有对称性

相似不保对称性。但它不对称，谈不上正定。合同才能自动推出对称性。

与旧知识的连接

第10章：顺序主子式就是行列式的逐级计算；配方系数；
第11章：可逆初等矩阵之积行（列）向量组无关——都等价于正定（方阵时）；
第13章：；” 有唯一解”是”列满秩”的伪装；
第14章：伴随的谱，用于正定的判定。

题型训练

正定的判定（12 题，本页主战场）
含参二次型的正定范围（5 题）
正定平方根与矩阵分解（用到刻画 5、7）
二次型的最值与瑞利商（双正定）

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