相容性的秩判据与含参讨论
🏠 第13章概念导航
核心问题
给一个方程组,怎样只看两个数就判定它无解、唯一解还是无穷多解?带参数时又该按什么顺序讨论?
核心定义 / 定理 / 结论
三档判别(全章地基)
设
齐次方程组永远相容(
为什么
两个等价说法
“相容”管有没有,“列无关”管唯不唯一。 本章几乎所有充要条件型选择题,都可以拿这把双叉尺去卡。
含参讨论的两条路线
路线甲(系数矩阵是方阵)
- 算
并因式分解; 的参数值 唯一解; - 逐个把
的根代回增广矩阵化阶梯形,判无解还是无穷多解。
路线乙(非方阵,或参数散在多处)
直接对
行变换的红线
不许除以含参数的量,除非已经讨论过它非零。要消去含参元素,就用”整行乘常数再相减”,或把不含参的行换到主元位置。
典型题型
- 完整讨论型:”
为何值时无解 / 唯一解 / 无穷多解,并求通解” → 含参方程组的解的讨论 - 反求参数型:“有无穷多解,求
""一个有解一个无解,求 ” - 右端含参型:参数在
里, 固定,只查相容性,常用”某个三阶行列式 ” - 充要条件选择题:四个选项各说一半,用”相容 + 不唯一”双叉尺筛 → 880 综合选择 4
图示 / 直觉
三元方程组的三档,就是三张平面的三种交法:
r(A)=r(Ā)=3 r(A)=r(Ā)=2 r(A)=2 < r(Ā)=3
交于一点 交于一条直线 无公共点(三棱柱)
· ╱ ╱ ╲
╱│╲ ╱ ╱ ╲
╱ │ ╲ ╱ ╱_____╲
常见误用
算完
就下结论
只说明”不是唯一解”。到底无解还是无穷多解,必须代回增广矩阵看。这是本章丢分第一名。
的根漏掉一个
因式分解后有几个根就要验几次,而且不同根的结论常常相反(一个无解、一个无穷多解)。化到上三角后,对角线上每个含参因子都是一个候选。
拿
当相容性判据
完全不保证 。反例: , , , ,却无解。
齐次方程组说"有唯一解"
齐次组永远有零解,“唯一解”就是”只有零解”。看到这个措辞先在心里翻译一遍再判断。
与旧知识的连接
- 线性表示即方程组(第12章):
就是那里的”能否表示”。 - 极大无关组与秩(第12章):
即列组本身就是极大无关组。 - 行变换保列关系(第12章):这是”用行变换解方程组不改变解集”的根本理由。
- 结构型行列式(第10章):路线甲第一步永远是算一个含参行列式,对称型的先”三行相加”提出行和因子。
题型训练
- 含参方程组的解的讨论(8 题)
- 方程组的几何(7 题)
- 消元法与基础解系(5 题)