考研笔记

第13章 线性方程组 易错清单

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按”出现频率 × 扣分幅度”排序,前六条是重灾区。

1. 算出 就下结论,不代回增广矩阵

错在哪: 只说明”不是唯一解”,到底无解还是无穷多解,取决于 是否也降下来。

正确动作:每个使 的参数值,都要代回 化一次阶梯形。

典型:880 基础解答 2 中 给无穷多解、 给无解——两个根命运相反,只验一个必错。

2. 的根漏掉一个

错在哪:化到上三角后只盯着最下面那个含参因子,忘了上面的对角元也可能为零。

典型:880 基础填空 1 化到 ,很多人只写 ,漏掉 (此时第二、三行成比例,秩仍降到 2)。

自查:对角线上有几个含参因子,就有几个候选值,一个都不能少。

3. 基础解系”是解”就算完,不验无关、不数个数

错在哪:基础解系要同时满足三条 —— ① 都是解;② 线性无关;③ 个数 。

两个方向的错法:

  • 靠”作差""凑系数”得来的解,无关性必须单独验。 是齐次解,但未必与 无关。
  • 给了一堆解让你判断能否构成基础解系时,先数个数:多了必相关,少了张不满。

只有按行最简形标准流程(自由变量取单位向量)做出的基础解系才自动无关——因为它们在自由分量上排成单位阵。

4. 写成行数

错在哪: 里 是列数 = 未知数个数。

典型: 是 、 时,基础解系有 个向量,不是 。行数只影响相容性。

5. 通解里把齐次解当特解

错在哪:通解的”尾巴”必须系数和为 1。

系数和齐次解系数和特解

通用武器:。选择题四个选项一扫系数和就能砍掉三个。注意要恒等于 1,而不是”某个 时等于 1”。

6. 自由变量认错

错在哪:自由变量是没有主元的那几列,不是”排在后面的那几个变量”。

两种典型误认:

  • 化到阶梯形后 被 锁死,它是主元变量;真正自由的是 (880 基础解答 1)。
  • 某个变量在所有方程里系数都是 0,它完全自由,基础解系里必须有对应的 (880 基础解答 3 中的 )。

顺序:先按列数定 ,再找自由列。不能反。

7. 只写一个参数

是 时,通解含 个自由参数,每一列各带自己的一套。写成 把各列绑死了,只描述了全部解的一个一维子集。

8. 证了”包含”就说”同解”

只是一半。还要比维数:相等才同解, 那边更大就是真包含,恰恰是题目要的”不同解”。

“不同解”的标准转化:让 的秩掉下来,使 。

9. 只对 作行变换、不动 ,却说两个方程组同解

行变换必须整行一起做,常数项也是行的一部分。 时同解的是 与 ,不是 。

口诀:行变换保列关系(即未知数之间的关系),不保右端。

10. 列被打乱重排时,系数忘了跟着换位

典型: 时,原关系式 的系数 搬到 上必须写成 。

自查:凑出来的 直接代回 验一次(只需把 当符号加减),成本几乎为零。

11. 新加一列后,忘了 比 多 1

典型: 有 3 列、 时 ; 有 4 列、秩仍是 2,。

理由:新列若能被旧列表示,秩不变而列数 +1,于是自由度 +1。每加一个”可表示的新列”,就多出一个齐次解。

12. 相关的三处口误

  • 是代数余子式矩阵的转置:。所以 推出 ,不是 。
  • ,指数是 。
  • 只给 ,推不出 。

求 的基础解系:由 知 的列都是解; 指出去掉第 列后剩下的 列无关,它们就是基础解系。

13. 把 也当成”能脱一层”

靠的是 ,只对 、 这类组合成立。

反例

反向的失误:真的把 乘出来再消元,算量翻好几倍。

14. 识别不出”废话条件”

本章至少三处这类设计:

条件真相
有解恒成立,不提供信息
在 之下 自动成立,是废话方程
实质只是” 都可逆”

动作:见到一个条件先问”它排除了什么情况”;什么都没排除就当它不存在,别硬用。

15. “对任意 成立”不去取特殊值

见到 对一切 成立,立刻取 得 。“任意”是用来取特殊值的。

16. 齐次方程组说”有唯一解”

齐次组永远有零解,“唯一解”就是”只有零解”,即 。看到这个措辞先在心里翻译再判断,否则容易误以为它恒成立。

17. 几何题:忽略”三个不同的点 / 三条不同直线”

这个条件通常带来一个隐藏的秩下界或退化排除:

  • 三点互不相同 ;
  • 三线互不相同 排除 (必要性)与”三线重合/平行”(充分性)。

证明里若没用上这五个字,基本可以断定漏了情形。

18. 几何题:把”平行”当成可以重合

中文题面里”两平面平行”默认不重合,因此必定无解()。若说”重合”,秩组合完全不同。一字之差,答案就换。

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