同解、行空间与正交补
🏠 第13章概念导航
核心问题
两个形状完全不同的方程组,凭什么说它们”同解”?一个方程能被另外几个方程”推出来”,在矩阵语言里是什么?
核心定义 / 定理 / 结论
同解与包含的秩判据
设
摞起来秩不涨,就说明
三个等价刻画
注意:同解只保证行空间相同,不要求
正交补对偶(本章最有用的一条)
于是:
“新方程
加进去不改变解集” 落在 的行空间里。
三条实战捷径
- “加方程”只会缩小解集。 在
上添一个方程得 (Ⅱ),则 自动成立,要同解只需验 (Ⅰ) 的基础解系满足新方程。 - “包含 + 维数相等
相等”。 证出包含后再比一次 ; 那边更大就是真包含(“不同解”)。于是”不同解”的判定化成一个秩条件。 - 非齐次版本。 ”
的解都是 的解”只需验 的通解:特解代进去得 ,每个基础解系向量代进去得 。
左乘可逆矩阵不改解集
左乘安全,右乘换坐标。 选项里同时出现
典型题型
- 求参数使两组同解:代通解定参数,再验秩相等 → 880 基础解答 5
- 加一个方程仍同解的条件:验基础解系满足新方程 → 1000 基础 14
- 证包含 + 求参数使”不同解”:第二问一律转化为”让
的秩掉下来” → 880 综合解答 9 - 抽象选项判定:
型,转置后用左乘规则 → 880 综合选择 7 - 向量组等价推同解:只有转置版成立 → 1000 基础 12
图示 / 直觉
把每个方程看成一个”法向量”
行空间 R(A) ⟂ 解空间 N(A)
(约束方向) (自由方向)
维数 r 维数 n−r
添方程 = 往行空间里塞新方向。 如果新方向本来就在行空间里,解空间纹丝不动;如果跳出去了,行空间涨一维、解空间缩一维。
“向量组等价只管列空间,不管零空间”也可以这样看:等价保证
常见误用
同解
行等价 错。同解只给行空间相同。
是 、 是 也可以同解。
证了包含就说同解
还差一步维数比较。
且 不等时是真包含,恰恰是”不同解”。
只对
作行变换而不动 ,却说 与 同解 行变换必须整行一起做。
时同解的是 与 。
把
当成 能谈同解的前提是未知数个数相同,即列数相同。
是 而 是 ,只有后者能和 比。读题先对列数。
与旧知识的连接
- 向量组等价与秩(第12章):同解
行向量组等价,这正是那里”等价”定义的一次落地。 - 行变换保列关系(第12章):左乘可逆矩阵不改零空间的原始出处。
- 向量空间与正交化(第12章):正交补的定义与维数公式。
- 秩恒等式(第11章):
的上下界。
题型训练
- 同解方程组与解集包含(5 题)
- 抽象分块方程组的同解判定(6 题)
- $A^{\mathrm T}A$ 型方程组与法方程(5 题)