考研笔记

抽象分块方程组的同解判定

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方法模板

这一节全是”选项里堆满抽象矩阵、问哪两个方程组同解”的题。看着吓人,实际上只用四条规则。

四条规则

规则 1(摞起来 = 取交)

所有分块行方程组都先拆成”若干个条件同时成立”再说。

规则 2(左乘可逆矩阵不改解集)可逆，右乘则会换坐标:,一般 。左乘安全,右乘危险。

规则 3(能被别的条件推出的方程可以删)

若第二个方程形如 而第一个方程已是 ,那第二个是废话,系统实际只剩第一个。这是本节最常见的陷阱位置。

规则 4(维数下界保证有非零公共解)，反过来,维数和 时不能断言交为零——要找反例才能否定。

一条常被忽略的推论

若 满足某个多项式 ,则 的所有特征值都是 的根。于是:

不是的特征值可逆

这条把”矩阵多项式恒等式”直接换成”某些矩阵可逆”,是解本节压轴题的钥匙。

做题顺序

① 先看有没有矩阵一定可逆(由多项式恒等式或 之类推出);② 把每个分块方程组按规则 1 拆开、按规则 3 删废话;③ 剩下的用规则 2 化简;④ 都不行才用规则 4 数维数或找反例。

必考

880 第十三章综合选择 7

原题 设 维实列向量 满足 , 均为 阶矩阵, 为 阶单位矩阵,且 ,则( ).

A. 方程组 与方程组 同解 B. 方程组 与方程组 同解 C. 方程组 与方程组 同解 D. 方程组 与方程组 同解

解析

答案 D。

第一步:判断 是否可逆。 这是全题的枢纽。

是秩 1 的实对称矩阵,它的非零特征值就是 (对应特征向量 ,因为 ),其余 个特征值为 0。于是 的特征值是

一重重

可逆。 而且 (因为 ), 对称。

第二步:,套规则 2。

  • 即 。这里 是右因子,,一般 ⟹ C 错。
  • 。这里 变成了左因子,而左乘可逆矩阵不改解集:
正确
  • A、B 都拿 去比。但 可逆,;而 、 未必只有零(取 即可),故 A、B 均错。

转置一下,右因子就变成左因子

本题的全部技巧就是这一句: 里 在右边(“危险”),转置后 里 跑到左边(“安全”)。选项里同时出现 和 时,几乎肯定考的就是这个位置转换。

差一点就是 Householder 矩阵

标准的镜面反射矩阵是 ,满足 。本题里 ,分母被”吃掉”了一半,所以 的特征值是 而不是 ,并非对合矩阵。别看到 就条件反射地写 ,先核一下 到底等于几。这里 才是要用的结论。

1000题基础篇 第4章 12

原题 设 3 维列向量组 与 等价,记 ,,则下列结论:

① 与 同解;② 与 同解; ③ 与 同解;④ 与 同解.

所有正确结论的序号是( ). A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①②③④

解析

答案 C(只有 ② 和 ④ 对)。

常规做法：用两个齐次方程组同解的秩判据。

对于未知量个数相同的两个齐次方程组，

与同解

必须是纵向拼接：把两组方程上下放在一起，看是否增加了独立的约束。只知道 不够，还要拼在一起后秩不增加。

第一步：把题设“列向量组等价”写成秩的等式。 两组列向量互相可以线性表示，所以把它们合在一起，秩仍然不变。记共同的秩为 ，则，题设给的是横向拼接 ，同解判据要的是纵向拼接。 不能直接把两者混为一谈；但利用“转置不改变秩”，有

同时 、，因此

② 正确。 上式正好满足同解判据，所以 与 同解。

④ 也正确。 令 ，已有 。把 与 再纵向拼接，只是重复添加已有的行，故

仍满足同解判据，所以 与 同解。

第二步：①③不能保证成立，用同一个反例看秩。 取

两组列向量都能由 表示，又都包含这两个向量，所以等价，满足题设，且 。但纵向拼接后，

初等行变换

这里用第 4 行减第 1 行得到 ，第 5 行减第 2 行也得到同一行，再消去重复行即可。出现 3 个主元，所以拼接矩阵的秩为 。

  • ① 错：，但 ，不满足同解判据。
  • ③ 错：拼接后的系数矩阵秩为 ，而 的秩为 ，连秩相等都不满足，两方程组不同解。

所以正确的是 ②④，选 。

这题就抓住横拼与竖拼的区别：列向量组等价看 ；齐次方程组同解看 。 转置恰好把横拼变成竖拼，因此题设能直接保证带转置的 ②④。

原解法：从列空间与解集理解。

第一步:把”等价”翻译准。 向量组等价 互相可线性表示 张成的空间相同:

注意:等价保证的是”列空间相同”,不是”列之间的线性关系相同”。

第二步:逐条判。

① 与 同解? 描述的是 之间的线性关系,这恰恰是等价不保证的东西。

反例:取

两组的张成空间都是 平面,等价 ✓。但

因因

完全不同。① 错 ⟹ 排除 A、B、D,只剩 C。

② 与 同解? 对。

同理 。而 ,故两者的解集都等于 ,同解 ✓。

③ 与 同解? 由规则 1,左边的解集是 。要它等于 ,就得 ——由 ① 的反例, 与 只交于零,。③ 错。

④ 与 同解? 解集是 ,而由 ② 这两个集合相等,交集就是它自己。④ 对 ✓。

等价管列空间,不管零空间

这是本题的全部要害。” 组与 组等价”,但完全管不住 与 。 记住这条,①③ 一秒排除;而带转置的 ②④ 恰好问的是”与列空间正交”,自然成立。

一句话记忆:转置版对,不转置版错。

用 ① 的反例一口气解决 ③

构造一个反例后不要扔,①③ 用的是同一组 。考场上找反例很费时间,找到一个就把所有相关选项都试一遍。

1000题基础篇 第4章 8

原题 设 经过若干次初等行变换得 ,则 与 ( ).

A. 对应的任何部分行向量组具有相同的线性相关性 B. 对应的任何部分列向量组具有相同的线性相关性 C. 对应的任何 阶子式同时为零或同时不为零 D. 对应的非齐次线性方程组 和 是同解方程组

解析

答案 B。

核心:初等行变换 左乘可逆矩阵 ,即 。 由规则 2,，即 与 同解。而 说的正是列之间的线性关系: 与 有完全相同的解 。取 只在某个下标子集上非零,就得到:任何对应的部分列组,相关性完全一致。B 对 ✓

逐个否掉其余:

  • A(行向量组):反例 。部分组”第 2 行”: 的第 2 行 非零、线性无关; 的第 2 行是零向量、线性相关。✗
  • C( 阶子式):同一个反例, 的 位置一阶子式为 1(非零), 的对应子式为 0。行变换会改变子式的值,只保证秩不变。✗
  • D( 与 ):行变换作用在增广矩阵上时,右端 必须跟着一起变。题目里 保持不动,两个方程组一般不同解。反例:,, 有解 ;而 , 要求 ,无解。✗

一句口诀锁死这类题

行变换保列关系,列变换保行关系。(记法:变哪边就”动”哪边,不动的那一边的线性关系才被保住。)本题问的是列关系而做的是行变换,所以保住;若改成”经初等列变换”,答案就换成 A 了。这条口诀来自第12章,在本章解方程时天天在用——我们只用行变换,正是因为要保护列(即未知数)之间的关系。

D 是最容易误选的

大家太熟悉”对增广矩阵作行变换不改变解集”这句话,以至于忽略了本题只对 变换、没动 。行变换必须整行一起做,常数项也是行的一部分。

拓展

1000题强化篇 第5章 9

原题 设 为 阶矩阵,且 满足 ,则与 不一定同解的是( ).

A. B. C. D.

解析

答案 D。

第一步: 说明什么。 改写为， 可逆,且 。

于是基准方程组 要求 且 ,而 。

基准方程组只有零解。 所以题目实际在问:哪个选项的方程组不一定只有零解?

同时记下: 的特征值都是 的根,记 。

第二步:逐个检验。

C(最简单,先做): 且 。两式相加:，只有零解 ✓ 同解。

A: 给出 ; 给出，用 代入:,即，若 ,则 是 的特征值,须满足 ,矛盾。故 ✓ 同解。

B: 给出 ; 给出，代入 :,即 。而 ,故 3 不是特征值, ✓ 同解。

D: ;第二式，对任何满足第一式的 自动成立——这是规则 3 说的”废话方程”。于是 D 的方程组实际上只有一个约束 ,解集是 ,而 完全可能奇异。

反例: 取 ,则 ,方程组的解是全空间,而基准方程组只有零解。不同解 ✓

选 D。

先找"能提公因子"的那个选项

D 的第二式 一眼就能提出公因子,提完发现它就是第一式左乘 ——规则 3 的教科书样本。做这类题的第一件事就是扫一遍四个选项,看哪个的两块能提出公因子;能提的那个几乎必定是答案。

"不一定同解"要给反例,不能只说"推不出来"

D 的正确论证是:构造出一个具体的 (),使两个方程组的解集确实不同。只写”第二式是多余的,所以可能不同解”论证不完整——万一 恒可逆呢?否定命题必须落到反例上。

多项式恒等式 可逆性的翻译表

本题反复用到: 时, 不是 的根 可逆。这里 ,于是 (,)、、 全都可逆。看到 型条件,先把 算出来判断 是否可逆,这一步往往就定了全局。

1000题强化篇 第5章 7

原题 设 3 阶矩阵 满足 ,对于以下结论

① 与 有非零公共解;② 与 有非零公共解.

正确的说法是( ). A. ①②都对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①②都错

解析

答案 C。

第一步:从 挤出秩的上界。

若 ,则 可逆,于是 都可逆(3 阶方阵乘积可逆 两个因子都可逆),从而 也可逆,,与 矛盾。所以，这个 "" 是全题的钥匙。

第二步:判 ②(先做容易的)。 由 与 :

于是

由规则 4,两者必有非零公共解。② 正确 ✓

第三步:判 ①——找反例。 ① 中 、,维数和只保证 ,不超过 ,规则 4 用不上。这提示它可能是假的,去构造反例。

取

( 的作用是”把行往上提”: 的第 1 行 的第 2 行,第 2 行 的第 3 行,第 3 行为零。)

秩:(第 1 行与第 2 行无关),。满足 ✓

解空间:

没有非零公共解,① 错误 ✗

综上选 C。

维数和恰好等于 时,基本可以去找反例了

规则 4 只在维数和严格大于 时生效。本题 ① 的维数和下界恰是 3,② 的下界是 4——这个”3 与 4 的差别”就是命题真假的分水岭,也是出题人设计这两问的用意。做这类题时先把两个维数下界加起来看一眼,大于 就往正面证,等于 就往反例走。

② 为什么"多乘一个就一定有公共解"

因为 和 都含有 这个因子,而 的秩已经被压到 。秩最低的那个因子决定了整个乘积秩的上界,乘得越多秩只会更低、零空间只会更大。所以”多乘一次”把两个零空间都撑到了至少 2 维,4 > 3,交必非零。

1000题强化篇 第5章 8

原题 设 为 阶实矩阵,则( ).

A. 只有零解 B. 只有零解 C. 与 同解 D. 与 同解

解析

答案 C。

统一记号: ,。本题反复用$A^{\mathrm T}A$ 同解定理:

以及

A、B 一起否掉: 完全可以是奇异的。

  • A:方程为 与 。取 ,则只需 ,即 。 奇异时可取 ,得非零解 ✗
  • B:方程为 与 。由第一式 ,故第二式化为 ,即 。所以解集是 , 奇异时含非零解 ✗

(题干说” 为 阶实矩阵”,没说可逆,所以”只有零解”这种绝对断言一律可疑。)

C:两边都化成 。

左边: 与 。 由第二式得 ,从而 ,回代第一式得 。解集 。

右边: 与 。 由第二式 ,回代第一式得 ,即 。解集同样是 。

两边解集都是 ,同解 ✓

D:一边会松成 。

左边: 与 。 第二式给 ,故第一式化为 ,由 (取 )得 ,再得 。解集 。

右边: 与 。 第二式给 ,故第一式化为 ,由同解定理得 ,即 。解集 。

而 ,可以严格更大。反例:,则 , 而 。两边不同解 ✗

选 C。

分块方程组一律"先拆成两个方程,再自下而上代"

这四个选项的分块矩阵都是上三角或含零块的,所以第二行方程总是更简单。先解第二行拿到 的约束,再回代第一行,几步就化到底。硬去算 的分块矩阵的秩是自找麻烦。

能"脱一层", 不能

全题的分水岭:(有 撑腰),但 。选项 D 的右边恰好落到 上,这就是它失效的原因。看到 放心脱,看到 或 一律不许脱。

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