考研笔记

型方程组与法方程

🏠 第13章概念导航 · 线性方程组题库

方法模板

两条主定理(每年都考,必须能默写证明)

定理 1(同解) 对实矩阵 ,

与同解从而

证明(两行,考场直接写)

  • :。
  • :,两边左乘 ,

定理 2(法方程恒相容) 对任意实矩阵 与任意 维向量 ,必有解，证明 由定理 1,。而

三处夹逼取等,故 ,方程组相容。

实矩阵才行

定理 1 的证明用了 ,这依赖实数域。复矩阵下对应的是 。考研只考实矩阵,但要知道这一步是核心,不能跳。

识别信号

题面出现立刻想到
换成 再做
有解废话,恒成立——这个条件不提供信息
、直接得
对一切 正定 相关矩阵可逆

最有用的一条: 的出现是来"降维"的

是 时 是 阶方阵——形状变好了,秩没变。所以凡是遇到非方阵不好处理的抽象命题,乘一个 常能把问题搬到方阵上,而不损失任何秩信息。

必考

880 第十三章基础选择 2

原题 设 是 阶矩阵,对方程组 (Ⅰ) 和 (Ⅱ) ,必有( ).

A. (Ⅱ) 的解是 (Ⅰ) 的解,(Ⅰ) 的解也是 (Ⅱ) 的解 B. (Ⅱ) 的解是 (Ⅰ) 的解,但 (Ⅰ) 的解不是 (Ⅱ) 的解 C. (Ⅰ) 的解不是 (Ⅱ) 的解,(Ⅱ) 的解也不是 (Ⅰ) 的解 D. (Ⅰ) 的解是 (Ⅱ) 的解,但 (Ⅱ) 的解不是 (Ⅰ) 的解

解析

答案 A,即两者同解。这就是定理 1,证明见上方模板。

四个选项的结构值得注意: B、C、D 都在断言”某个方向不成立”。而 这个方向是一眼可见的(左乘 而已),所以 B 和 C 里那句”(Ⅰ) 的解不是 (Ⅱ) 的解”当场就是假的,可以不动笔就排除。

剩下 A 与 D 之争,焦点全在反方向: 能否推回 ?能——就靠”左乘 凑出平方和”这一招:

选 A。

记住这个动作:左乘 凑范数

遇到形如 、 的式子,第一反应就是两边左乘 ,把它变成某个向量的长度平方等于零。这是全书唯一能从”矩阵乘积为零”倒推出”因子为零”的场合(一般情况下 绝不能推出 )。原因是实数平方和为零必须每项为零——这条不等式性质是线代里少有的”实数域专属武器”。

也一样

同理 ,。所以

四个秩全相等。这一串在第11章已经出现,本章把它兑现成”解集相同”这一更强的结论。

880 第十三章综合解答 6

原题 设 是 矩阵, 为 维列向量,证明:线性方程组 必有解.

解析

这是定理 2。给两种写法,考场任选。

证法一(秩的夹逼,最标准)

要证 。

注意增广矩阵可以整体提出一个 :，于是

而由定理 1,。两端相等,中间被夹死:，故方程组相容,必有解。

证法二(构造性,几何味道更足)

把 沿” 的列空间”与”其正交补”分解。 的列空间记为 ,则， 说明存在 使 ; 说明 与 的每一列内积为零,即 。于是

就是一个解。

证法一里"提公因子"是全题的关键一招

看着平凡,但正是它把增广矩阵的秩压到了 之下。看到增广矩阵的两块有公共左因子,立刻提出来——这个动作在抽象证明题里反复出现。

这就是最小二乘法

叫法方程。当 无解(数据超定)时,法方程的解 使 最小——因为 恰是 在列空间上的正交投影,而投影点是列空间中离 最近的点。证法二其实把这层几何直接写出来了。“法方程恒有解”的本质原因是:投影永远存在。 这条会在概率论的回归/条件期望里再遇到一次。

1000题强化篇 第5章 3

原题 设方程组 的系数矩阵为 ,自由项为 ,若 无解, 有解,则 ( ).

A. B. 1 C. D. 3

解析

答案 A。

第一步:先看穿” 有解”这个条件。

由定理 2,它对任何 、任何 都成立——是句废话,一点信息都不提供。出题人放这一句就是为了唬人、顺便考你知不知道定理 2。

所以真正的条件只有一个: 无解。

第二步: 无解要求 奇异。 系数矩阵是三阶方阵,若 则必有唯一解。

候选: 或 。

第三步:逐个代回,挑出”无解”的那个。

:

第三行 第二行,,有解。不符合,舍。

:

末行为 ,无解 ✓。

故 ,选 A。

识别"废话条件"是一种得分能力

本章至少有三处这类设计:” 有解”(恒成立)、""(在 下可能自动成立)、” 正定”(其实只是在说 可逆)。看到一个条件就先问一句:它排除了什么情况?如果什么都没排除,就当它不存在。 硬去”用”它反而会绕进死胡同。

1000题基础篇 第4章 13

原题 设 为 矩阵,。若方程组 有解,则对于 (Ⅰ) 与 (Ⅱ) 说法正确的是( ).

A. (Ⅰ) 的解都是 (Ⅱ) 的解,但 (Ⅱ) 的解未必是 (Ⅰ) 的解 B. (Ⅱ) 的解都是 (Ⅰ) 的解,但 (Ⅰ) 的解未必是 (Ⅱ) 的解 C. (Ⅰ) 的解不是 (Ⅱ) 的解,且 (Ⅱ) 的解也不是 (Ⅰ) 的解 D. (Ⅰ) 的解都是 (Ⅱ) 的解,且 (Ⅱ) 的解也都是 (Ⅰ) 的解

解析

答案 D(两者同解)。

一个方向是白送的: (Ⅱ) 比 (Ⅰ) 多一个方程,所以 (Ⅱ) 的解自动是 (Ⅰ) 的解。B、C 里”(Ⅱ) 的解不是 (Ⅰ) 的解”都错,先砍掉 C。

真正要证的是反方向: 设 ,要推出 。

用上唯一没用过的条件” 有解”。 设 满足 ,则

所以 (Ⅰ) 的解也都是 (Ⅱ) 的解,两者同解,选 D。

" 有解" 的正确用法:把 换掉

这个条件的全部价值就是允许你写 。一旦把 替换成 ,那个碍事的 就变成 ,而括号里恰好是已知为零的东西。 这类”用一个条件把陌生符号翻译成熟悉符号”的手法,是抽象证明题的通用起手式。

换个视角: 落在行空间里

有解 ( 的列空间)。而 的解空间恰是 的正交补。既然 ,补空间里的每个 都与 正交,即 ——一句话完事。” 的解空间 行空间的正交补"" 的解空间 列空间的正交补”,这两条对偶在本章第 5、6 节都用过,值得单独背下来。

拓展

880 第十三章综合选择 8

原题 设 是 阶实对称矩阵, 是 阶实矩阵,若对任意 维非零列向量 ,都有 ,则下列选项中正确的是( ).

A. 方程组 有无穷多解 B. 方程组 无解 C. 方程组 有唯一解 D. 方程组 无解

解析

答案 C。

第一步:确认那个矩阵确实是”正定”的对象。 令 ,则( 实对称,)

实对称,且 对一切 成立,所以 正定。

第二步:从正定性榨出 可逆。 这是全题的关键一步,用反证。

设 不可逆,则存在 使 。代入二次型:

这里用了 (再次用到 对称)。于是存在非零 使 ,与正定矛盾。

故 可逆, 有唯一解 。选 C。

顺带: 也可逆。 同样地,若 且 ,则 且 ,又矛盾。所以 可逆, 也有唯一解——这正好说明 A、B 两个选项都错(既不是无穷多解,也不是无解)。

"正定 可逆" 的标准用法

正定矩阵 满足:。逆用:找到一个非零 让 ,就与正定矛盾。所以证”某矩阵可逆”时,先假设它有非零零向量 ,再把这个 塞进正定二次型里,通常能凑出 0。这个套路在第15章是家常便饭,这里提前见一面。

对称这个条件不能忘

上面两次都用到 ,这一步必须靠 。若 不对称, 与 就不是一回事,整个推理断掉。题干把”实对称”写在最前面,不是装饰。

选项 A、B 也在考同一件事

出题人把 和 混在四个选项里,是想看你会不会只判其中一个。实际上两个方程组都有唯一解,而只有 C 把这句话说对了。做完 C 之后顺手确认 A、B 为假,答案才算落地。

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