正定的判定
方法模板
一、正定的八条等价刻画（
| # | 等价条件 | 用在哪 |
|---|---|---|
| 1 | 全部特征值 | 抽象题、含参题的主力 |
| 2 | 正惯性指数 | 与合同题接轨 |
| 3 | 全部顺序主子式 | 具体数字矩阵，最快 |
| 4 | 判”与 | |
| 5 | 存在可逆矩阵 | 构造题 |
| 6 | 存在可逆矩阵 | 同上，方向相反 |
| 7 | 存在正定矩阵 | 平方根题 |
| 8 | 伴随、逆的连锁 |
二、三个”差一个字就废”的坑
坑 1：顺序主子式判据的三个前提
必须
对称——非对称阵的顺序主子式全正推不出任何东西； 必须全部——只查 不够； 必须严格大于 0——出现一个 就不是正定。
坑 2：
里 必须可逆
只是” 阶矩阵”时， 只给出半正定。 可逆才保证 ，才有严格大于号。这是 880 基础选择 6 的 A 选项、也是最常见的送分陷阱。
坑 3：半正定要看 全部主子式，不是顺序主子式
只查顺序主子式
是不够的： 的顺序主子式是 ，都 ，但 显然不半正定（ ）。正定可以只看顺序的，半正定不行——这个不对称性必须记住。
三、半正定的等价刻画
四、常见的”正定零件”速查
| 形状 | 结论 | 何时升级为正定 |
|---|---|---|
| 半正定 | ||
| 半正定，秩 1 | ||
| 半正定 | 系数阵 | |
| 半正定 | ||
| 正定 | 恒成立 | |
| 正定 | ||
| 正定 | 恒成立（合同保 | |
| 正定，但需 | 相似不保对称性 |
必考
880 第十五章基础选择 6
原题
设
A. 存在
解析
逐项过：
A ✗：
B ✗：
C ✗：
D：
- 必要性：
正定 ，而 的特征值是 ，且 实对称，故 正定 ✓
选 D（四项中唯一可选）。
D 的"充分性"在
为奇数时其实有漏洞 反过来推：
正定 所有 所有 与 同号。这允许两种情况：
- 全部
（ 正定），此时 ✓ - 全部
（ 负定），此时 的符号是 ， 为奇数时也满足。 现成反例：
， 。此时 正定，但 是负定的。 所以严格讲 D 只在
为偶数时是充要条件。作为选择题，D 仍是唯一可选项（A、B、C 错得更彻底），但这个漏洞值得知道——它恰好把”伴随的谱是 “这条公式的用法演示了两遍。
880 第十五章基础解答 3
原题
证明：
证明
（充分性） 设
先验对称：
再验正定：任取
由
（必要性） 设
令
取
另证（必要性，走合同）
（这条路不需要特征值，只用惯性定理，在只学到合同、还没学谱定理时也能走通。）
充分性那一步是本章最常用的一行
看到
就把它读成”长度的平方”：非负是白送的，严格正取决于 能否为零，也就是 的列是否满秩。本章几乎每道正定证明题的核心都是这一行。
1000 基础第 6 章 10
原题
下列矩阵中的正定矩阵是（ ）.
(A)
解析
第一遍：扫对角线。 正定要求
- (A)
✗ - (C)
✗
第二遍：剩下的两个算顺序主子式。
(B)：
(D)：
选 (B)。
先扫对角线，能省一半计算
是正定的必要条件（取 即可），而且是零成本的。四个选项里两个直接死在这一步。 同族的零成本必要条件还有：
、 （二阶主子式）。做选择题时先把免费的必要条件全用一遍，再动手算行列式。
1000 基础第 6 章 11
原题
设
① 若
则正确结论的个数为（ ）.
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
解析
题干的关键字是”
① ✗：顺序主子式判据的前提是
但
② ✗：合同要求
（两个互异特征值，可对角化），但
③ ✓：设
- 对称性：
✓（这里不需要事先假设 对称，是推出来的） - 正定性：任取
， 可逆 ，故
正确的只有 ③，选 (B)。
①②的错因是同一个：偷偷假设了对称性
顺序主子式判据、合同关系，这两样东西的整套理论都建立在实对称的前提上。题目故意把”实对称”三个字从题干里抽掉，就是要看你会不会条件反射地补上。
对照 ③：它没有预设
对称，但对称性从 里自动推出来了——这才是合法的。“能推出来”和”想当然地假设”是两回事。
1000 基础第 6 章 22
原题
下列二次型中，属于正定二次型的是（ ）.
(A)
解析
四个都是平方和型，
于是只需数每个括号里第二项的符号，把四个符号乘起来：
| 选项 | 负号个数 | |||
|---|---|---|---|---|
| (A) | 4（偶） | |||
| (B) | 0（偶） | |||
| (C) | 2（偶） | |||
| (D) | 1（奇） |
选 (D)。
直接验证 (D)：
顺带看 (C) 为什么不行：取
环状平方和的"符号奇偶律"
个变量首尾相接的平方和 （ ，下标循环）：
时退化 负号个数为偶； 时 ，退化 负号个数为奇。 这解释了一个反直觉的现象：3 元的
退化（3 个负号，奇），而 正定（0 个负号，偶）——与 4 元时的结论正好相反。见 标准形、规范形与惯性指数。
880 第十五章综合选择 4
原题
设
A.
解析
平方和型
按第 1 列展开（只有
正定
小规模核对
| 公式值 | |||
|---|---|---|---|
| 2 | |||
| 3 |
这就是上一题 (zy-b6-22) 的一般形式
上一题是
、 的具体版本，本题是任意 、任意实数的抽象版本。一道选择题给出公式，另一道让你用它数符号——两本书刚好凑成一对，建议连着做。 记忆锚点：
的两项分别来自”全走对角线”和”绕环一圈”，后者带的符号 正是环状置换的奇偶性。
880 第十五章综合填空 1
原题
设
解析
于是对任意
"
正定 列满秩"是本章的常驻公式 一般地（
为 ）：
题目往往不直说”
可逆”，而是用方程组语言伪装：
- ”
有唯一解”、” 只有零解” 列满秩； - ”
对任意 有解” 行满秩（此时是 正定）。 读到这类句子，立刻翻译成秩。 见 第13章 转置乘积方程组。
1000 强化第 9 章 25
原题
设
(A)
解析
| 选项 | 等价于 |
|---|---|
| (A) 初等矩阵的乘积 | ✓ 可逆矩阵的标准刻画（可逆 |
| (B) 两个基之间的过渡矩阵 | ✓ 过渡矩阵恒可逆；反之任何可逆阵都可看作某两组基的过渡矩阵 |
| (C) 行向量组线性无关 | ✓ 方阵，行秩 |
| (D) 与 | ✗ |
选 (D)。
"与
相似"和"与 合同"天差地别
原因：相似要求谱逐个相同且结构相同，而
的相似类只有它自己（ 恒成立）；合同只要求正惯性指数是 。 这一对是本章最该背下来的反差，880 基础选择 6 的 C 选项踩的也是同一个点。
拓展
1000 强化第 9 章 21
原题
设
(A) 齐次线性方程组
解析
选 (A)。
逐项排除：
- (B)
有非零解 ——说的是行秩，与 无关 ✗ - (C)
只有零解 ——同样是行满秩 ✗ - (D)
有非零解 ——恰好是正确条件的否定 ✗
不拆
也能做：直接用定义 任取
， ：
正定 这个值 当且仅当 。所以
两行，不需要任何分解。 拆
是为了看清”这就是 的一般化”，但考场上直接用定义更快。
1000 强化第 9 章 23
原题
设
（1）若
解析
先把
（1）
故对一切
（2）
情形
是"半正定矩阵的标准出厂形式"
秩为
向量组的秩，恒半正定，正定当且仅当向量组张满整个空间。 反过来说：任何半正定矩阵都能写成若干个
之和——取谱分解 ，把 当作 即可。这条与第14章的谱分解是同一件事，见 第14章 秩1与结构型矩阵的谱。
1000 基础第 6 章 25
原题
设
解析
半正定性（无条件成立）： 对任意
情形一：
这是节点为
情形二：
（此时
范德蒙德在本章的角色：提供"列满秩"的证据
第10章学范德蒙德是为了算行列式，这里用它是为了证明一组多项式取值向量线性无关。
一句话的直觉：
意味着多项式 （次数 ）在 处取值为零……更准确地说， 的行是 ， 说的是 对 成立。 时这 个方程的系数阵是范德蒙德的转置，只有零解。
1000 强化第 9 章 19
原题
已知
其中
(A)
解析
由第一个条件，
与题给的
于是
"同一个
"是本题的全部信息量 若题目只说”
相似于 “，那只能得到集合相等，需要讨论排列；但题目写的是 ，用的是与 完全相同的 ，所以可以逐位比对，三个方程都指向同一个 。 底层理由：
与 是 的有理式，特征向量完全继承——第14章”多项式与逆的特征值转移表”里的标准条目。见 第14章 特征值的基本性质与多项式变换。
三个方程要一起解，不能只用一个
只用
得 ，看似够了；但必须回代验另外两个——若题目给的对角阵是精心设计的矛盾条件，答案就会是”不存在这样的 “。本题三条自洽， 成立。
链接
- 方法总纲：正定矩阵的等价刻画 · 合同与惯性定理 · 二次型与它的矩阵
- 同章：含参二次型的正定范围 · 合同的判定与过渡矩阵 · 正定平方根与分解 · 二次型的矩阵、秩与平方和型
- 上一章：第14章 特征值的基本性质与多项式变换（伴随的谱） · 第14章 实对称与正交对角化 · 第14章 秩1与结构型矩阵的谱
- 更早：第13章 转置乘积方程组（
） · 第10章 结构化行列式的计算（范德蒙德） · 第11章 可逆的判定与证明 - 易错清单：第15章易错点