考研笔记

可逆性的判定与抽象证明

🏠 第11章概念导航 · 矩阵题库

方法模板

证”可逆”的三条路

  1. 构造法(首选):造出 使 ,则 。一步同时给出可逆性和逆,见 凑因式法。
  2. 行列式法:证 。适合能算出或能用特征值表示 的情形。
  3. 齐次方程法:证 只有零解。抽象证明里最灵活的一条。

证”不可逆”的三条路

  1. 自变号法:凑出 ,则 。奇数阶 + 转置/正交条件时几乎必用这一招,因为 。
  2. 特征值法:证 是特征值,或某个 使 。
  3. 秩法:证 ,常配合 的秩约束。

必须能瞬间反驳的四个”假命题”

常见误断反例
不可逆 不可逆,,
或 ,
任何反对称阵,如
才能用 正确的是 ,顺序反转

而下面这些是真命题,同样要记牢:

  • (取 逐列击破)
  • (取 )
  • 三者都可逆,且 (循环可以轮换,但不能任意重排)
  • 实矩阵 (主对角元是平方和;“实”字不能丢)

正交矩阵的常用事实:,,特征值模长为 ; 时 必是特征值, 且阶为奇数时 必是特征值。

必考

880 第11章基础解答 6

原题

设 , 可逆,证明:。

解析

在等式两侧同时乘 —— 左右各一次:，左端 ;右端 。故这个”两侧同乘”的动作是抽象证明的基本功:想把某个因子从左边挪到右边,就在等式两侧各乘一次它的逆。只乘一侧只能消掉一个,挪不动。

880 第11章基础解答 8

原题

设 阶方阵 满足 ,,且 ,证明: 不可逆。

解析

由 得 ,故 ;同理 。再由 知二者一个为 、一个为 ,特别地，又 ,。把 分别向两侧提公因子:

因 因

两式取行列式:且，相减得 。由 知，故 不可逆。

技巧点:同一个 用两种方式提公因子,得到两个表达式再对比。“一个量算两遍”是抽象证明里最常用的制造矛盾/等式的手法。

880 第11章基础解答 7

原题

设 为 阶正交矩阵,且 ,证明: 不可逆。

解析

自变号法。 用 制造公因子:

而 ,再提负号(阶数 是奇数):，串起来:，故 不可逆。

几何含义:奇数阶、行列式为 的正交矩阵是三维(或更高奇数维)空间中的旋转,必有一条不动的转轴,即 是特征值,所以 奇异。“奇数阶 + 正交 + 是特征值”值得单独记。

880 第11章综合选择 5

原题

下列选项中命题正确的是（ ）。

① 若 均为 阶矩阵,且 ,则 ; ② 若 均为 阶不可逆矩阵,则 必不可逆; ③ 若 均为 阶不可逆矩阵,则 必不可逆; ④ 若 阶矩阵 满足 ,则 。

A. ①②③　　B. ①③④　　C. ②③④　　D. ①②④

解析

① 真。 说明 可逆且 ,故 ;又 说明 ,故 。两者都等于 ,自然相等。

② 假。、 都不可逆,但 可逆。

③ 真。。

④ 真。 说明 可逆,从而 都可逆。由 得 ,于是，正确的是 ①③④,。

② 是这四条里唯一的假命题,也是最常被误认为真的

直觉上”两个退化的东西加起来还是退化”,但秩不满足加法: 只是上界,两个秩 的矩阵完全可以加出秩 。记住 这个反例。

1000题强化篇第3章 1

原题

设 是 阶矩阵,则下列说法错误的是（ ）。

A. 对任意的 维列向量 ,有 ,则 B. 对任意的 维列向量 ,有 ,则 C. 对任意的 阶矩阵 ,有 ,则 D. 对任意的 阶矩阵 ,有 ,则

解析

A、C、D 都真,而且证法一样——“对任意”意味着可以代特殊值:

  • A:取 ,得 的第 列为零,逐列得 。
  • C:取 ,直接得 。
  • D:取 ,直接得 。

B 假。取任何非零反对称矩阵,例如 ,则对一切 ,

但 。

正确的版本是:若 对称且 对一切 成立,才有 。因为二次型只能”看见”矩阵的对称部分,反对称部分对 毫无贡献。这一点是第 15 章二次型”只讨论对称矩阵”的根本原因,现在先记住这个反例。

拓展

880 第11章拓展解答 2

原题

设分块矩阵 为正交矩阵, 分别是 阶和 阶方阵,证明: 与 是正交矩阵。

解析

正交即 。按分块乘出来:

逐块读:

  1. 左上块给 ,而 是 阶方阵,故 正交。
  2. 右上块给 。由第 1 步 可逆, 也可逆,左乘 得
  1. 右下块给 。代入 得 ,故 正交。

证明的关节在第 2 步:不先从右上块推出 ,右下块就化不开。分块正交矩阵的三角块必为零——换句话说,分块上三角的正交矩阵一定是分块对角的,这个附带结论比题目本身更常用。

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