考研笔记

由矩阵多项式方程求逆:凑因式法

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方法模板

题目给 满足的一个多项式方程,问 或 。只有一招:凑成”某某 × 某某 “,然后，这同时证明了可逆性并给出了逆,不必另行论证 。

标准动作:把常数项挪到一边,其余项提出公因子。

判据:能不能用这一招,只看常数项是否非零。若方程是 (常数项为零),凑不出 , 也确实未必可逆。

求 有两条路,都要会:

  • 展开法:直接把已知方程展开,提出 。快,但二项式系数容易算错。
  • 换元法:令 (即 )改写方程,或直接设 待定系数。稳。

三条现成结论(必背)

条件结论
,

第一条是几何级数在矩阵上的翻版,因 而自动截断,不需要收敛性。它的反向使用同样重要:看到 就认出它是 。

化简型变体:题目不问逆而问 等于什么,做法一样——用给定方程降次,把高次幂逐步换掉直到只剩一次式。

必考

880 第11章基础填空 8

原题

设方阵 满足 ,则 ____。

解析

常数项挪右边,左边提 :

这一步已经证完了可逆

找到一个矩阵与 相乘得 ,可逆性即成立,不需要另外说 。反之若常数项为零就凑不出来,此时 可能真的奇异。

880 第11章基础填空 6

原题

若 ( 为正整数),则 ____。

解析

直接验证:

记忆挂钩:与 完全同形。同理

880 第11章基础解答 2

原题

设 是 维列向量,且 ,证明: 可逆,并求 。

解析

应仍是 与 的组合。设 :

是一个数,可提到前面:，取 使系数为零:

构造出了逆,故 可逆。

另解(只证可逆): 秩 ,唯一非零特征值为 ,故 的特征值为 (一重)与 ( 重),。这条路快但只给可逆性、不给逆,解答题仍要回到待定系数。证明”可逆并求逆”一律优先构造法,一步到位。

880 第11章综合解答 2

原题

设 ,证明:,并求 。

解析

第一步:识别秩 1。 四行都是 的 倍。取 ,则

即 。

第二步:凑因式。 设 :，取 :

特征值验算:由 知特征值只能是 或 ; 说明 一重、 三重。故 的特征值为 ,其逆的特征值为 ;而 的特征值正是 与 ✓

1000题基础篇第2章 4

原题

设 ,,则 ____。

解析

是 4 阶上位移矩阵,。反用几何级数公式:

本题考的就是”公式要会反着用”。正着用是”已知 求 “;反着用是”看到 立刻认出它是谁的逆”。若把 乘出来再求逆,要做一次 4 阶初等行变换,慢十倍。

1000题基础篇第2章 17

原题

设 是 阶矩阵,满足 ,则 ____。

解析

展开法(考场用):

换元法(检查用):令 ,,,，两条路结果一致。展开法更快,换元法更不容易算错二项式系数——考场用前者,检查用后者。

拓展

1000题基础篇第2章 18

原题

设 是 阶矩阵,满足 ,则 ____。

解析

不求逆,而是用给定方程降次:，由 得 ,代回:

特征值逐个验: 幂等,特征值只有 。:左边 ,右边 ✓;:左边 ,右边 ✓。降次的结果永远可以这样两秒验完。

880 第11章基础解答 4

原题

设 ,,求 。

解析

不要先算 ,把 整体化简:

(把 写成 再左提公因子,是本题唯一的技巧点。)

提公因子要认准从哪一侧提

本题从左提 。之所以还能把 和 换来换去,是因为二者都是同一个 的多项式(或多项式的逆),同一矩阵的多项式之间必可交换。换成两个无关矩阵就只能单侧提,不能随意搬动。

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