考研笔记

矩阵方程的求解

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方法模板

第一步:含未知矩阵的项归到一边,提公因子。 矩阵不可交换,左提还是右提决定了后面往哪边乘逆:左提右提，第二步:化成 、 或 的标准形。

第三步:判断系数矩阵是否可逆——这一步不能跳。

  • 可逆: / / 。左边的逆左乘,右边的逆右乘。
  • 不可逆:回到线性方程组,对 做初等行变换。解要么不存在,要么含自由参数。

第四步:算。 若 是初等矩阵,它的逆仍是同类初等矩阵,直接对 做相应的行/列变换即可,不必求逆矩阵。

待定元素法:方程整理不成 (例如 , 被夹在中间),就把 的元素设成未知数展开比较。2 阶只有 4 个未知数,完全可行。

一条值得单独记的判据: 在 与 无公共特征值时只有零解 。 反过来,“与 可交换的全部矩阵”()必有非零解,至少 的全体多项式都满足。

必考

880 第11章基础解答 9

原题

设 ,,求 。

解析

归项、两侧因式分解:，验证 可逆:

左乘 :

不能直接"约掉"

矩阵没有消去律。这里能得 ,靠的是先验证 可逆再左乘其逆。解答题里”因 “这句话是踩分点。

880 第11章基础解答 11

原题

设

满足 ,求矩阵 。

解析

是”交换 1、2 行”的初等矩阵, 是”交换 2、3 行(列)“的初等矩阵。对合矩阵自己就是自己的逆:,,，不必做矩阵乘法,读成两次初等变换:

  • :交换 的第 1、2 行 →
  • 再右乘 :交换第 2、3 列 →

左乘换行,右乘换列——认出初等矩阵后,一道解答题退化成搬行搬列,一分钟做完。详见 初等变换与初等矩阵。

880 第11章基础解答 10

原题

设 ,,求 。

解析

含 的两项右边都是 ,左边分别是 与 ,所以只能左提、右留:， 可逆,右乘 :，对角阵求逆即逐位取倒数:

方向不能反:写成 是错的, 与 不能交换位置。提公因子前先看未知矩阵左右各站着谁。

880 第11章综合解答 4

原题

设 ,且 ,求 。

解析

先化掉 。,

归项、左提:，左乘 、右乘 :

逐位验算:第二位 , ✓。全对角的题一定回代验,几乎不花时间。

880 第11章综合解答 5

原题

设矩阵 满足

求 。

解析

记系数矩阵为 、右端为 (),故 是 。

第三步不能跳:， 不可逆,不能写 。回到线性方程组,对 做初等行变换(两列右端同时处理):

末行全零,方程相容,有一个自由未知量。设 ,两列分别读:

  • 第一列:,。令 :,。
  • 第二列:,。令 :,。
为任意常数

这道题专门用来罚"不验可逆性"

一看到 就写 ,本题会卡死在求 上——它根本不存在。第三步永远先算 。 系数矩阵不可逆时,答案必须带任意常数(或说明无解)。

1000题强化篇第3章 9

原题

求与 可交换的全部 2 阶矩阵。

解析

被夹在中间,整理不成 ,用待定元素法。设 :

逐位比较: 给 ; 给 ; 给 (重复)。

任意

结构解释:,与 可交换 与 可交换,结果恰是 的全体多项式。这不是巧合:当 的最小多项式次数等于阶数(本题只有一个 Jordan 块)时,与 可交换的矩阵只有 的多项式;另一极端 时任何矩阵都可交换。

拓展

880 第11章拓展解答 1

原题

设 ,,若矩阵 满足 ,求 。

解析

归项时两边都要提,且方向不同:，(左边左提 ,右边右提 ——两个 站在不同侧,这正是本题的设计。)

关键洞察: 与 相似,故 ,而 比 简单。

自查: 幂等 也幂等,验证 ✓。问 而不问 ,就是在提示走相似这条路:先把中间矩阵平方化简再夹回去,比先求 再平方省一半计算。

880 第11章基础解答 12

原题

设矩阵 满足 ,求矩阵 。

解析

形如 且 ,只能待定元素。设 :

由 与 得 、;代入后两式得 与 ,故 。

答案是零矩阵不是做错了

的特征值是 ; 的特征多项式为 ,特征值 。两者无公共特征值,Sylvester 方程 只有零解。 遇到这类题先算两边特征值:无公共值可直接断言 ;有公共值才需老实解方程组。

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