初等矩阵:左乘换行、右乘换列

核心问题

初等变换是手上的动作,初等矩阵是这个动作的矩阵化身。把二者对应起来之后,一整类” 由经过某某变换得到,问 “的选择题就退化成读图。

生成规则(唯一需要记的):把变换施加到上,得到的就是对应的初等矩阵。

行 变 换 左 乘 列 变 换 右 乘

倍加型的行列之分(最易错)

不必背下标:施加到上得到什么就是什么。

复合的顺序:先做的变换贴最近。 $先做后做$ ，验证右乘的快法: 的第列的各列以的第列为系数的组合。要判断某个对不对,只看它的列,不必做整个乘法。

周期性:,偶次幂为、奇次幂为自身。题目出现、时先算周期。

等价及其判据 $与等价可逆同型且$ ，这是三种关系里条件最弱的:等价(同型同秩,可以不是方阵)⊃ 相似()、合同()。相似与合同互不包含,但正交相似同时是二者。

视角:一串下三角初等矩阵的乘积仍是下三角,故高斯消元天然给出 ,其中的下三角元素就是消元乘数,主对角必为。

初等矩阵是离单位阵最近的可逆矩阵——只改动了一个位置或交换了两行。因此:

它们都可逆,且逆仍是同类初等矩阵;
任何可逆矩阵都能写成有限个初等矩阵之积(这正是”用初等行变换求逆”算法的原理:对消元,右半边累积的就是 );
左乘一串初等矩阵对行做一串操作,而行操作不改变列之间的线性关系,这就是第 12 章”用初等行变换求极大无关组”的合法性来源,见行变换下列相关性的不变性。