极大无关组、秩与满秩分解

核心问题

一个向量组里”真正独立的骨架”是哪几个,其余向量又怎么由骨架表示?一次行最简化同时回答这两个问题——这是本章计算题的主力算法。

定义:向量组的一个极大线性无关组是它的一个无关子组,再添任何一个原向量都会变相关。所含向量个数称为该向量组的秩,记。

极大无关组不唯一,但个数唯一;向量组与它的任一极大无关组等价。

核心算法(一次到位)

把向量按列排成，做初等行变换化到行最简形 (主元为、主元所在列其余元素为 ),则:

必须化到行最简形,只到阶梯形还得回代。

为什么合法:行变换左乘可逆矩阵 ,而的列是的列经同一个可逆变换所得,可逆变换保持一切线性关系。详见行变换下列相关性的不变性。 反过来,列变换会打乱列之间的关系,判断列向量组时绝对不能用。

满秩分解

设。取极大无关组拼成 (,列满秩),取行最简形的前个非零行拼成 (,行满秩),则

道理就是上表第三行: 的第列正是用极大无关组表示的系数。 取自原矩阵的列，取自行最简形的行——两边取自不同的矩阵,这是最容易搞混的一点。

等价标准形

先用行变换()化简,再用列变换()清理残余。是所用行初等矩阵之积(先做的贴最近), 是列初等矩阵之积。边做边记每一步,比事后反推快得多。

向量组张成一个子空间,极大无关组就是这个子空间的一组基,秩就是它的维数。多余的向量是”已经能被走到的位置”,不带来新方向。

行最简形为什么能直接读系数?因为行变换把换成了 ,而列之间的表示关系不变。在里,主元列恰好是标准基向量 ,于是”某列某几个的组合”这件事一眼可见,系数就写在那一列上。行最简形是把线性关系”显影”出来的形式。

满秩分解的几何含义: 把打到一个维子空间。先把压到 (坐标化), 再把嵌回 (用基张开)。任何秩为的映射都能这样”经过维中转站”分解。