含参向量组的相关性与秩

🏠 第12章概念导航 · 向量题库

方法模板

含参数的向量组要判相关性,先数个数与维数,这一步决定用哪套工具:

情形一:向量个数 维数(,方阵)，直接算行列式解参数,最省事。方阵情形永远优先用行列式。

情形二:向量个数 维数(,高瘦矩阵)

行列式不存在,只能行变换求秩。目标是把矩阵化成阶梯形,让参数集中到最后一两行:，关键技巧:化到只剩两行含参数时,相关要求两行同时为零,于是得到一个方程组而不是一个方程——参数往往被卡得很死,甚至无解(即”对任意参数都无关”)。

情形三:向量个数 维数()

不必算,必相关。

“相关但任意两个无关”这类附加条件

主条件( 或秩不足)给出候选参数,附加条件用来筛选。做法:对每个候选值代回原向量组,逐一检查附加条件。候选一定要全部验一遍,出题人通常让其中一个通过、另一个被筛掉。

行变换只能作用在行上

判断列向量组的相关性时,可以对矩阵做初等行变换——它不改变列向量之间的线性关系(见 行变换下列相关性的不变性)。但不能做列变换,那会把要判断的对象本身搅乱。

必考

880 第12章基础填空 1

原题

已知向量 线性相关,则 ____。

解析

三个 3 维向量,是方阵情形,直接用行列式:

相关 ,

核对: 时 。试解 :由前两个分量 、 得 ;验第三分量 ✓ 确实相关。填空题算完用一个具体组合回验,十秒钟。

880 第12章综合填空 1

原题

设向量组 线性相关,但任意两个向量线性无关,则 ____。

解析

第一步:主条件给候选。

相关 或 。

第二步:用附加条件筛。

• :,,。三对两两都不成比例(比如 : 而 ),任意两个无关 ✓
• :,,这两个相关,不满足附加条件 ✗

候选必须全部代回验证

本题两个候选里恰好有一个被”任意两个无关”筛掉——这就是附加条件存在的全部意义。只算行列式就填答案,一半概率填错。

1000题基础篇第3章 6

原题

设 ,则（ ）。

A. 对任意常数 , 线性无关 B. 当 时, 线性相关 C. 当 时, 线性相关 D. 且 是 线性无关的充要条件

解析

3 个 4 维向量,情形二,行变换求秩:

第三行 除以 得 ,拿它去消第二行:，于是化为

相关 最后两行同时为零,即，无解。所以对任意 秩都是 ,向量组恒线性无关。

两行含参 ⟹ 得到方程组,常常无解

这是""情形特有的现象:参数要同时满足两个方程才能降秩,通常做不到。选项 B、C、D 都是按”一个方程”的思路设计的错项—— 只让第三行为零,第四行 ,秩仍是 。

1000题基础篇第3章 9

原题

若向量组 线性相关,则 （ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

同为 3 个 4 维向量:

用第二行 消下面两行:

相关要求两者同时为零:

取交集:。

和上一题对照着看:同样是”两行含参”,上一题两个方程无公共解(恒无关),本题恰有一个公共解。选项 B、D、C 分别是只解了其中一个方程得到的部分根——出题人把”只解一半”的所有可能答案都放进了选项。

拓展

1000题基础篇第3章 4

原题

设 ,对 分别按列和行分块,记为 ,其中

则以下结论中:① ;② 线性无关;③ 线性相关;④ 线性相关。所有正确结论的序号是（ ）。

A. ①③　　B. ②③　　C. ①④　　D. ②④

解析

把两个已知条件各自翻译成一句话:

非零的二阶子式(取第 行与第 列)。这个子式正是 的一个二阶子式非零,故为零的三阶子式(第 列构成的方阵) 这三个 3 维列向量的行列式为零,故再看另外两条:

• ①:只知 。第 4 列完全可能把秩顶到 3——例如 满足两个条件而 。所以 不确定。✗
• ③: 是三个 4 维行向量,相关 ,同样不确定。✗

"某个 阶子式为零"只管那 列,不管全局

三阶子式为零只说明那三列相关,不能推出 ——秩是所有子式的事,不是某一个子式的事。“非零子式给下界、零子式给局部结论” 是这类题的判读口径。

链接

• 方法总纲:线性相关性的等价刻画
• 行变换的合法性:行变换下列相关性的不变性
• 同章:线性相关性的判定与证明、极大无关组、秩与满秩分解
• 上一章:矩阵的秩:基本公式与 $AB=O$ 型降秩(含参求秩的”两行同时为零”与那里的”两边夹”是同一种思路)
• 上上一章:结构型数值行列式的计算(方阵情形靠行列式,含参行列式的化简全在那里)
• 易错清单:向量组的陷阱