考研笔记

含参方程组的解的讨论

🏠 第13章概念导航 · 线性方程组题库

方法模板

判据(必须背到条件反射)

设 是 ,:

情形判据
无解(必定差 1)
唯一解
无穷多解

齐次方程组永远相容,只分两档: 只有零解, 有非零解。

两条路线,按方阵与否分岔

路线甲(方阵专用,)——先算 。

  1. 算 并因式分解,解出使 的所有参数值 。
  2. 所有 :,唯一解(要写通解就上 Cramer 或求逆)。
  3. 逐个把 代回增广矩阵,化行阶梯,看 与 是否相等,判无解还是无穷多解。

路线乙(非方阵,或参数散在多处)——直接对增广矩阵作行变换。

一路化到阶梯形,把参数留在主元位置上,最后逐个讨论”这个主元为零时会怎样”。

路线甲第 3 步不能省

只说明”不是唯一解”,到底是无解还是无穷多解,必须代回去看增广矩阵。跳过这步是本章丢分第一名。

的根可能不止一个,而且每个根的结论可能不同

求出 这种式子后,两个根都要验。经常出现”一个根无解、另一个根无穷多解”的分裂结果——出题人就指着这个设分。

行变换时的红线

行变换里不许除以含参数的量,除非你已经讨论过它非零。想消去含参数的元素,就用”整行乘常数再相减”或先把不含参的行换到主元位置。

必考

880 第十三章基础解答 2

原题 设方程组

问 为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?当有无穷多解时,求其通解.

解析

方阵,走路线甲。

第一步:算 。

第二步:唯一解的情形。 当 且 时 ,方程组有唯一解。

第三步:两个根分别代回。

(i) :

,无穷多解。

求通解:由第二行 ,取 得 ;代入第一行 得 。

为任意常数

(ii) : 为避开分数,把前两行同乘 5:

第二行与第三行的系数部分恰好相反,而常数项 与 之和为 。相加得，出现矛盾方程 ,故 ,无解。

结论汇总:

结论
且 唯一解
无解
无穷多解,通解

这一支的快速判法

别硬做分数消元。先把整行乘掉分母变成整系数,再观察行与行的关系——本题第二、三行系数正好差个负号,一眼就看出”系数相消而常数不消”,这就是无解的标准长相。凡是化到某一步出现 且 ,立刻收笔判无解。

两个根命运不同

本题 的两个根,一个无解、一个无穷多解。只验一个就下结论必错。

880 第十三章基础填空 1

原题 设方程组

有无穷多解,则 ____.

解析

答案 或 (两个值都要写)。

直接对增广矩阵作行变换,注意第一行不含参数,拿它当主元行最安全:

关键观察:常数列已经被清成 ,后两行的常数项都是 0,所以永远不会出现矛盾方程——本题不可能无解。 于是”无穷多解”就退化为一个纯粹的秩条件:。

上三角形的对角元是 ,故或，两个都要回代确认秩确实降到 2:

  • :三行为 , ✓ 无穷多解。
  • :三行为 ,后两行成比例, ✓ 无穷多解。

这题的坑就是"漏根"

时上三角的第二个对角元为零,阶梯形要重新排——第二、三行都只在第三列有非零元,合并后秩仍是 2。很多人化到 后只盯着 ,把 漏掉。上三角对角线上有几个含参因子,就有几个候选值。

为什么常数列全零就一定相容

因为此时 的最后一列是 的列的线性组合(这里干脆是 第一列自己那种简单情形),即 落在 的列空间里, 恒成立。先扫一眼常数列,能省掉半页讨论。

880 第十三章基础填空 2

原题 设 ,,,若方程组 有解,且 无解,则 ____.

解析

答案 。

第一步: 必须奇异。 如果 ,则 对任意右端都有唯一解,不可能一个有解一个无解。所以先解 :

候选: 或 。

第二步:逐个验两个条件。

: ,对 :

无解,与题设矛盾,舍去。

: 。

对 :

第三行 第二行,,有解 ✓。

对 :

无解 ✓。

两条都满足,故 。

双条件题的省力顺序

“一个有解、一个无解”这类双约束,先用”必须奇异”把候选压到有限个,再逐个代。绝不要一开始就同时化两个增广矩阵——候选可能只有两个,而且往往第一个就被”有解”这条否掉,省一半计算。

1000题基础篇 第4章 1

原题 方程组 有无穷多解,则 ____.

解析

答案 。

第一步: 用”能加就加”算。 系数矩阵是”对角 、其余 1”的标准型,三列相加每行都得 :

候选: 或 。

第二步:逐个代回。

: 三个方程成为，前两个和第三个直接矛盾,,无解。舍。

:

三行相加得 ——常数项也恰好抵消(),说明第三行是前两行的组合,不产生矛盾。前两行显然不成比例,故 ,无穷多解 ✓。

故 。

对称型方程组先"三行相加"

系数对称的方程组, 里必然带 这样的”行和因子”,而验根时也用同一招:三行(含常数项)相加,若得全零行就相容,若得 就无解。本题 的常数项和是 ,一眼过关。反过来若右端是 ,常数和为 , 就变成无解了——右端那个 是出题人精心配的。

1000题基础篇 第4章 10

原题 已知线性方程组 有解,其中 ,,,则 等于( ).

A. 1 B. C. 2 D.

解析

答案 D。这题的参数在右端而不在系数矩阵里,所以路线不一样: 是固定的,要调的是” 落不落在列空间里”。

第一步:。 注意第三列 第一列:。前两列不成比例,故

列空间

第二步:要求 落在这个平面里。 设 :

一式加三式:;一式减三式:。代入第二式:

另解(行列式法,更快) 由 ,有解 把 替换掉 中某个”多余”的列后得到的三阶行列式为零。这里第三列是冗余的,故条件为

按第三列展开(或直接行变换 ):

令 得 ✓。

右端含参 ⟹ 只查相容性

参数在 里时, 是常数,唯一要调的是 别比它大。用”三阶行列式 = 0”替代解方程组通常最快,但要挑对”用 换掉哪一列”——换掉的必须是能被其余列表示的那一列(这里第三列 第一列),否则行列式恒零、条件失效。

拓展

880 第十三章基础选择 4

原题 设方程组 的系数矩阵为 ,若存在 3 阶矩阵 ,使得 ,则必有( ).

A. 且 B. 且 C. 且 D. 且

解析

答案 C。

第一问: 取什么。 且 意味着 至少有一个非零列 ,而 ,即 有非零解,故 。

故 ,排除 A、B。

第二问: 是否为零。 时 ,,解空间维数 。

说明 的每一列都是 的解,于是 的列全落在那个 2 维解空间里,，选 C。

的三句话

① 的列都是 的解;② 因而 ,即 ;③ 反过来 的行都与 的列正交。这三句在第11章 $AB=O$ 专题已经建立,本章只是换成方程组的语言复述一遍。注意选项 D 那种 "" 永远不可能: 可逆的话 会直接推出 。

1000题基础篇 第4章 2

原题 设 3 维列向量组 线性无关, 均为非零常数,,,,记 ,则齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件为( ).

A. B. C. D.

解析

答案 B。

第一步:写成矩阵乘法。 这是第12章”新组 = 旧组 × 过渡矩阵”的标准动作:

(把 的表示系数竖着写成 的第 列——写成行就错位了。)

第二步:秩。 是 3 个线性无关的 3 维向量,故 可逆,于是 。有非零解，第三步:算 。 按第一行展开:

因为 是非零实数,而 ,第二个因子恒正,故条件化为 。选 B。

别丢掉"第二个因子恒正"这句

考场上很多人算出 就直接选 B,结论对但推理有洞:必须说明 在实数范围内不为零。这个二次型的判别式 ,或者配方成平方和,两种写法都行——这正是第15章正定二次型的雏形。

循环型 的口算

是三阶循环行列式,主对角线积 ,反向那条”绕回去”的积 ,其余项全为零,结果 。同型的 结果也是 。见过一次就能直接写。

880 第十三章综合选择 4

原题 设 是 矩阵,则非齐次线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是( ).

A. B. 有非零解 C. 有两个不同解 D. 的列向量组线性相关

解析

答案 C。

“无穷多解” 两件事同时成立:相容()且 不唯一()。逐个选项对照这两件事:

  • B 和 D 是同一句话: 有非零解 的列向量组线性相关。它们只管住了”不唯一”,完全没管”相容”。反例:,, 有非零解但 无解。两个选项一起排除。
  • A: 也不保证相容。反例:,,,则 ,无解。✗
  • C:设 都是解。充分性:有解说明相容; 是 的非零解,说明 。两条齐全,故无穷多解。必要性:无穷多解当然含两个不同解。✓

选择题的元技巧:两个等价选项必定同时错

B 和 D 在数学上完全等价。单选题不可能有两个正确答案,所以它们必错——这一步不用任何计算就砍掉两个选项,剩下 A、C 二选一。养成开考先扫”有没有互相等价的选项”的习惯,线代选择题里这招命中率极高。

为什么"两个不同解"这么强

因为它一次性给了相容性(有解)和退化性(解不唯一)。相比之下 A、B、D 都只给了半边。本章所有”充要条件”型选择题,都可以拿”相容 + 不唯一”这把双叉尺去卡。

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