考研笔记

解的结构与通解构造

🏠 第13章概念导航 · 线性方程组题库

方法模板

非齐次通解 = 一个特解 + 齐次通解。这句话人人会背,考场上真正要判断的是三件事:

要判断的判据常见翻车
齐次部分够不够独立参数个数必须 少一个就漏解,多一个就重复
齐次部分对不对每个 满足 且它们线性无关只验了”是解”,没验”无关”
特解对不对该向量满足 拿了个齐次解当特解

系数和判据(本章最高频的口算法):设 都是 的解,取组合 ,则，于是只看系数和:

  • ⟹ 这个组合是 的解(可当特解);
  • ⟹ 这个组合是 的解(可当齐次解)。

选择题里四个选项一扫系数和就能砍掉三个;解答题里”已知几个解的线性组合、求通解”也全靠它配平。

三步流程

① 数 定齐次部分该有几个自由参数;② 用系数和 凑出足够多的齐次解并验无关;③ 用系数和 凑特解。

必考

880 第十三章基础选择 1

原题 已知 是非齐次线性方程组 的两个不同解, 是对应齐次方程组 的基础解系, 为任意常数,则 的通解为( ).

A. B. C. D.

解析

答案 B。按模板的三条逐个筛。

先筛”特解”这一栏(最省事,先看每个选项最后那一项的系数和):

  • A、C 的尾项 ,系数和 ,它是 的解,不是特解。整个通解里就没有非齐次成分了,直接淘汰 A、C。
  • B、D 的尾项 ,系数和 ,是 的解 ✓。

再筛”齐次部分”:,所以齐次部分要由两个线性无关的齐次解张成。

  • B: 与 。由 无关可知这两个也无关(过渡矩阵 可逆),✓。
  • D: 与 。 确实是齐次解、且因 而非零,但它和 未必线性无关——完全可能 。这时 D 只张出一维,漏掉一半的解。✗

故选 B。

D 是本题的"陷阱王"

出题人赌你只检查”是不是齐次解”。 是齐次解没错,可它是某一个齐次解,题目没保证它跳出 的方向。凡是通解里出现”由解之差临时拼出来的向量”,都必须追问一句:它和另一个凑成无关组了吗? 而 是题目给的基础解系,它们的可逆线性组合永远安全。

1000题基础篇 第4章 4

原题 设 为 阶方阵,, 是非齐次线性方程组 的两个不同解, 为任意常数,则 的通解为( ).

A. B. C. D.

解析

答案 D。

第一步:把 翻译成 。 这是第11章的伴随秩公式:

基础解系恰含 个向量。所以通解形式是”特解 一个参数乘一个非零齐次解”,四个选项的形状都对得上,只能靠系数和分胜负。

第二步:系数和筛选。

选项系数和判断
A随 变,不恒为 1 ✗
B恒为 ,这是 的解 ✗
C不恒为 1 ✗
D恒为 1 ✓

第三步:验 D 确实是全部解。 把 D 改写成， 是特解; 系数和为 0 故是齐次解,又因 故非零。一个非零齐次解在 时就构成基础解系。所以 D 正是全部解。

这类选择题的两秒解法

先看系数和是否恒等于 1(而不是”某个 时等于 1”)。恒为 1 的往往只有一个选项,选完再补一句” 且 “就完整了。

1000题基础篇 第4章 9

原题 设 是 3 阶非零矩阵,满足 ,若非齐次线性方程组 有解,则其线性无关的解向量的个数为( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析

答案 C。

第一步:定 。 由 知 的每一列都是 的解,故 ,即 ,。又 故 。所以 ,基础解系含 个向量。

第二步:数解集里最多能挑出几个无关向量。 设特解 ,基础解系 ,则解集为，取三个解 ,断言它们线性无关:若 ,即 。两边左乘 得 ;(否则方程组是齐次的,题目说”非齐次”)故 ,回代得 ,由无关性 ,进而 。✓

再证不能有 4 个:任取 4 个解 ( 在 2 维解空间里),作差 等三个差向量落在 2 维空间里,必线性相关,于是原 4 个解也相关。

所以最大无关解向量个数 。

记住这个结论

有解时,其解集中线性无关向量的最大个数 。 齐次方程组则是 (因为零向量不能算进去,解集本身是子空间)。差的这个 "" 就是特解贡献的那一维——非齐次解集是个不过原点的仿射平面,比它的方向空间”胖”一维。

880 第十三章综合解答 1

原题 设 是 矩阵,,非齐次线性方程组 的 3 个解向量 满足

求方程组 的通解.

解析

第零步:读出维数。 给出的向量都是 4 维,所以 ,于是 ,基础解系含 个向量。通解 = 1 个特解 + 2 个无关齐次解。

这题最笨的做法是解出 各是什么(能解,但会出现 这种分数),然后再作差。完全不必——用系数和配平,全程整数。

记 (系数和 2),(系数和 3),(系数和 5)。

配特解:找系数和为 1 的组合。 ,所以取 :

系数和

配齐次解:找系数和为 0 的组合。 需要两个,且要线性无关。

第一个,凑 。注意 ,系数和 ✓:

第二个,取 (系数和 ✓):

验无关: 与 ,末位一个是 0 一个是 6,显然不成比例,故线性无关 ✓。个数 ,构成基础解系。

通解:

任意

配平的心法

把 看成三个”带权的解”,权就是系数和 。要造齐次解就让权相消(如 ),要造特解就让权差为 1(如 )。从头到尾不需要知道 本身是什么。

别忘了验无关

系数和为 0 的组合有无穷多个,但解空间只有 2 维。随手凑三个齐次解写进通解就错了(参数比自由度多);只凑一个又漏解。凑够 个 + 验一次无关,两步缺一不可。

880 第十三章拓展解答

原题 设 是 矩阵,,已知 是非齐次线性方程组 的三个解向量,且，又 是 的解,求 的通解.

解析

(未知数个数是列数),,基础解系 个向量。

特解: 的系数和为 1,故是 的解。当然直接用 当特解更省事,取哪个都行。

齐次解 1: 两个解之差,

齐次解 2: 题目白送,。

验无关: 第一分量一个是 1 一个是 0,不成比例,无关 ✓。个数 ✓。

通解:

里哪个数才是

是 ,方程有 5 个、未知数有 4 个。基础解系个数是 ,这里 (列数 = 未知数个数),不是 5。行数只影响”方程够不够”、影响相容性,不进这个公式。这是本章最容易写反的一处。

1000题基础篇 第4章 5

原题 设 ,,则 的通解为____.

解析

特解白送。 右端已经写成了列向量的组合 ,按 直接读出，齐次部分: 对 作行变换。

,,基础解系一个向量。取 :由第三行 ;由第二行 ;由第一行 。，验算(一定要做): ✓。

通解:

右端写成列组合 = 特解免费

只要题目把 写成 的形式, 立刻就是特解,一步不用算。这是第12章”线性表示即方程组”那条翻译的直接红利,本章反复用。

拓展

880 第十三章综合填空 1

原题 设 均为三维列向量,,则方程组 的一个特解为____.

解析

答案 。

有 4 列,故 是 4 维, 就是四列的线性组合:，想让它等于 ,最自然的想法是让第一列贡献出 ,再把它多带的尾巴补回去:取 ,则前一项 ,还差 ,于是取 。

只要"一个"特解就别求通解

题目问”一个特解”,说明不必管 是几、基础解系多大。凑系数比消元快十倍。这类”某一列被人为写成含 的表达式”的题,答案永远是把那一列的系数取 1、其余系数取成尾巴的相反数。

1000题基础篇 第4章 11

原题 已知 是 3 阶矩阵, 的每行元素之和为 3,且齐次线性方程组 有通解 ,,其中 是任意常数.

(1) 证明:对任意的一个 3 维列向量 ,向量 和 线性相关; (2) 若 ,求 .

解析

把两个条件都翻译成矩阵语言:

  • “每行元素之和为 3” ,即 。这是”行和 = 特征值”那条老技巧, 是特征值 3 的特征向量。
  • 通解有 2 个参数 。

(1) 证明。 意味着 的列空间(值域)只有 1 维。而 说明 落在这个 1 维值域里,于是，任意 的像 都是 的倍数,故 与 线性相关。

（1）常规做法：先线性表示，再左乘 。

不用“列空间、值域”的说法，只用三个线性无关的 3 维向量能表示任意 3 维向量。为与下文第（2）问保持一致，记

第一步：说明这三个向量线性无关。 把它们作为列排成矩阵，算行列式：

因此，对任意 3 维列向量 ，都存在常数 ，使，这里只要知道系数存在，不必把它们求出来。

第二步：分别看左乘 后得到什么。 每行元素之和为 ，所以 ；而 都是 的解，所以 。

将表示式两边左乘 ，利用矩阵乘法对加法、数乘的分配律：

因此 是 的倍数，两者线性相关。即使 ，此时 ，含零向量的向量组仍然线性相关，结论也成立。

这道题不用先求出 。 把任意 拆成“ 的倍数 + 两个齐次解的组合”，左乘 后，两个齐次解都变成 ，只剩下 的倍数。第（2）问继续用同一个表示式，只需把具体系数算出来。

(2) 求 。 把 拆到”已知像的方向”上: 的像是 , 的像是 。这三个向量线性无关(可算 ),构成 的基。设，分量展开:

第一式减第三式:;第二式减第一式:;回代第一式:。

于是

"已知 在一组基上的作用" = 已知

本题没给出 的任何一个元素,却能算 。原因是题目变相给全了 在一组基 上的像 ——线性映射被基上的像唯一确定。看到”给通解 + 给特征向量”就该想到凑基,这条思路一直用到第14章相似对角化(那里 的列正是这样一组基)。

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