考研笔记

伴随矩阵与分块矩阵的运算

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第 10 章处理的是伴随与分块的行列式;这里处理的是矩阵本身——求出 、、 长什么样。

一切从 出发,派生结论( 阶,):

实战首要动作:凡是表达式里同时出现 与 ,一律用 统一成 ,整个式子会塌缩成 的形状。

求 的两条等价写法(都要会):，所以已知 求 ,只需把 再求一次逆、再除以 ;而 可以从 直接读出。

分块矩阵的逆与伴随

——反对角块的逆要”交叉”回来,这是最容易写错的一处。

再补齐：有一个非零块 时的四种形式。 以下 都是可逆方阵，阶数可以不同； 不要求可逆，甚至不要求是方阵，只要各式的分块尺寸相容。 表示相应大小的零矩阵。

① 分块上三角： 在右上角。

② 分块下三角： 在左下角。

对角块各自求逆，零块位置不变；另一个块带负号，左右夹上对应的逆。 上三角是 ，下三角是 ，乘法顺序不能交换。令 ，就退回前面的分块对角公式。

公式怎么来？以分块上三角为例。 先把逆矩阵设为 ，按分块乘法要求乘积等于单位矩阵：

从下往上解：，，再由 得 。最后右上块满足

左边有 ，就左乘 消掉它——这就是乘法顺序的来源，不需要硬背。

③ 左上角为零：反对角线上是 ， 在右下角。

④ 右下角为零：反对角线上是 ， 在左上角。

这两式可由上、下三角式交换整块的列得到；原矩阵交换列，逆矩阵相应交换行。也可以像上面一样直接令乘积等于 来求。注意反对角的 求逆后要交叉，原来的零块则换到另一个对角位置。

别把分块矩阵当成普通二阶矩阵套“交换对角、其余变号、除以行列式”。 块之间的乘法一般不交换。忘记公式时，就设四个未知块，用乘积等于 推回来。

求分块矩阵 的伴随（ 可逆时），走 ：先求行列式，再乘上面的逆矩阵。若 分别为 阶，则上、下三角两式的行列式都是 ，③④两式都是 。只有两块同为 阶时，符号才简化为 。

必考

880 第11章基础选择 2

原题

设 是 阶可逆方阵,则下列结论中正确的是（ ）。

① 　　② ③ 　　④

A. ①②　　B. ②③　　C. ③④　　D. ①②③④

解析

逐条验,全部用 :

① ;而 。相等 ✓

② 由定义, 的每个代数余子式是 阶行列式,整体被放大 倍 ✓

③ ✓

④ ✓

这四条就是伴随矩阵的全部常用性质,建议连同上面的推导过程一起记——推导只用一行,比死记公式可靠。

880 第11章基础解答 3

原题

设 ,求 。

解析，先算 :

故 。

再算 。记 ,用 。 对称,其伴随也对称,代数余子式:

为什么答案这么整齐:,也就是说 —— 正是上一题的性质 ①。直接算 的伴随(代数余子式矩阵转置),连除法都省了。

880 第11章基础填空 7

原题

若 ( 为正整数),则 ____。

解析

,且 可逆。用 ,而标量可自由提出:

注意 未必等于 (例如 为偶数时可取 ),但 一定成立,这正是题目要 次幂而不是别的次幂的原因。

880 第11章基础填空 5

原题

设 是 阶方阵,且 ,将 的第 行与第 行互换得到 ,则行列式 ____。

解析

换行使行列式变号:。三个因子分别算:

更快的看法:,故原式 。先在矩阵层面化简再取行列式,通常比逐个取行列式更短。

880 第11章综合填空 1

原题

设 是 阶方阵,,, 分别是 的伴随矩阵,,则 的伴随矩阵 ____。

解析

一律走 。

再用 、 换回伴随:

交叉的系数不是笔误

块上挂的是 , 块上挂的是 。原因是 被均摊到两块上,而每块自己的 或 又被 的换算吃掉一个。一般地 。

1000题基础篇第2章 7

原题

设 是 阶矩阵, 分别是 对应的伴随矩阵,则分块矩阵 的伴随矩阵 （ ）。

A. 　　B.

C. 　　D.

解析(第 10 章的反对角分块行列式公式,)。

(交叉:验证 ✓)

三个辨别点:① 有没有 (反对角必须有);② 右上角挂的是 还是 (逆交叉了,所以是 );③ 系数是 还是 。选项 A、C 缺符号,D 的 没交叉。

拓展

880 第11章基础选择 3

原题

设 ,则行列式 （ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

一层层剥:

按第一行展开(只有 非零,符号 ):

三个选项都是"少剥一层"的产物

若忘记平方直接写 得 B;若符号处理错得 得 D。 的指数是 ,平方后负号消失,答案必为正。

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