考研笔记

由基上的作用定特征值()

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方法模板

一句话:知道 在一组基上干了什么,就等于知道了

题目给的是一堆形如的等式,右端都是 的组合。把它们打包成矩阵等式:

于是 , 的一切相似不变量(特征值、迹、行列式、、可否对角化)都可以在具体的小矩阵 上算。

写 的规矩(唯一容易错的一步)

的第 列 = 在基 下的坐标,竖着写。

例: 的第 2 列是 。

是"竖着写成列",不是"横着写成行"

这是本节唯一的高频错误。检验方法:算完 后,把 的第 列展开,看是不是恰好等于题给的 。 的第 列 ——用到的是 的第 列。

三个标准问法与对应动作

问什么怎么做
的特征值 / / / 全在 上算,一步不用回到
能否对角化查 的几何重数
求 使 两段接力:先求 使 ,再取

两段接力的公式推导(自己能推就不会记反)

所以 —— 原来的基矩阵在左,新求的在右。若题目只给抽象的 (没有具体坐标),就把 的列写成 的组合,如 。

型:题目自己造基

有一类题的基不是给定的,而是由 反复作用 生成:，此时 ,前两列自动是 的后两列,只有最后一列需要题目给的递推关系 来填。于是

—— 这是个”友矩阵”,它的特征多项式恰好是 ,即把递推关系的系数直接读进去。

为什么 长成这样

第 1 列:;第 2 列同理;第 3 列才是递推系数。前两列是”平移”,最后一列是”折返” —— 和数列递推的伴随矩阵是同一个东西。

必考

880 第十四章基础解答 5

原题 设 是 3 阶矩阵, 是线性无关的 3 维列向量,且 ,,. 求:

(Ⅰ) 的全部特征值; (Ⅱ) 可逆矩阵 及 ,使得 ,并计算 .

解析

(Ⅰ) 答案:。

打包成矩阵等式。 可逆(三列无关),

(逐列核对:第 1 列 来自 ;第 2 列 来自 ;第 3 列 来自 。)

,故只需求 的特征值。 的第 1 行是 ,按它展开:

特征值 。

(Ⅱ) 答案

先验可对角化:

的几何重数 代数重数 ✓,(从而 )可对角化。

求 的特征向量:

  • : 归结为 ,取 ;
  • :,由第 1 行 ,再由第 3 行 ,取 。

令 ,则 。接力得 ,把它按列写开:

: 特征值平移后相乘,，

" 的列写成 的组合"这一步别嫌麻烦

是抽象的,写不出具体坐标,所以答案只能写成组合形式。写法: 的第 列 对应 。

快速验算:直接代进原始等式。例如 ✓ —— 特征值确实是 1。这个验算不到十秒,务必做。

880 第十四章综合解答 1

原题 已知 是 3 阶可逆矩阵, 是 3 阶矩阵,且 . 求:

(Ⅰ) 的全部特征值; (Ⅱ) 可逆矩阵 和对角矩阵 ,使得 .

解析

(Ⅰ) 答案 。

题目已经把等式写成矩阵形式了,只需读出 :

( 可逆,故 ,。)

是块对角:。后一块的特征多项式为 ,特征值 。故 的特征值为 。

(Ⅱ) 答案

三个互异特征值,必可对角化。求 的特征向量:

  • : 中第 2、3 行给 与 ,解得 ,取 ;
  • :第 1 行给 ,第 2 行给 ,取 ;
  • :,,取 。

接力 ,按列展开即得上式。

验算: ✓,特征值确为 2。

" 可逆"这四个字是入场券

没有它, 不是基, 推不出 ,整条路断掉。凡是本节的题,第一件事就是确认那组向量线性无关(或那个矩阵可逆)。 有的题会把这一点作为第 (Ⅰ) 问让你证明——见 1000 强化 5。

880 第十四章综合选择 7

原题 设 3 维列向量 线性无关, 满足 ,,, 是 的代数余子式,则 .

A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

解析

答案 C。

第一步:把要求的量翻译成相似不变量。 ,而它正是特征多项式的中间系数:

特征多项式是相似不变量,所以 可以在 上算。

第二步:写出 。

(第 1 列 、第 2 列 、第 3 列 )。

第三步:求谱。 的第 1 列只有首元非零,按第 1 列展开:

三个特征值全是 1。于是，选 C。

三个"主子式和"全是相似不变量,配套记

记号等于用特征值表示

看到"""所有二阶主子式之和"""这三种说法中的任何一种,都直接换成 。

别去硬求

本题的 是抽象向量, 根本写不出来。有人会想”设 “,这恰好可行(因为结论与 的具体取值无关),此时 。但要意识到这是在利用相似不变性偷懒,而不是题目本来的设定。规范写法还是 。

880 第十四章综合填空 1 ≡ 1000 强化篇第8章 16

原题(880 综合填空 1) 设 是 3 阶方阵, 为 3 维列向量, 为可逆矩阵,,且 ,则 ____.

原题(1000 强化篇第8章 16) 设向量组 线性无关,其中 为 3 阶矩阵, 为 3 维非零列向量,且 ,则 的特征值为 ____.

同源题

两题的条件完全一样(),只是问法不同:880 问 ,1000 问全部特征值。下面一起做。

解析

答案: 的特征值为 ;。

第一步:写出友矩阵。 可逆,

(前两列是”平移”: 与 本来就是 的第 2、3 列;第 3 列 直接抄递推系数。)

第二步:求 的谱。 第 1 行只有零,按第 1 行展开:

特征值 (1000 版的答案)。

第三步:平移相乘。，另解(不求特征值,直接算行列式):

友矩阵的特征多项式 = 递推关系本身

由 ,把 换成 、把 划掉,就得到

这正是 的特征多项式。所以这类题连 都可以不写:直接把递推式当成特征方程解。

为什么合法?因为 无关 多项式 是 的最小多项式(次数已达 3,不能更低),而 3 阶矩阵的最小多项式与特征多项式在这种情形下重合。考场上可以直接用这个结论,但要会写出 作为依据。

递推系数抄进 时符号最容易反

的坐标是 —— 按 的顺序,不是按题目书写顺序。题目先写 后写 ,恰好一致;但若题目写成 ,顺序就反了。永远按基的顺序重排一遍再抄。

1000 强化篇第8章 6

原题 设 均为 3 阶矩阵,,其中 为 3 维列向量组且线性无关,若 .

(1) 证明 可相似于对角矩阵 ; (2) 若 ,求可逆矩阵 ,使得 ,并写出 .

解析

(1) 由题设,,其中

(第 1 列 来自 ;第 2 列 ;第 3 列 )。 可逆,故 。

的第 2 行为 ,按它展开:

特征值 —— 三个互异,故 可对角化,从而 可对角化。

(2) 答案

求 的特征向量:

  • : 的第 1、3 行给 与 ,联立得 , 自由,取 ;
  • :第 2 行给 ;第 1 行给 ,取 ;
  • :同理 。

接力: ,写成 的组合:

代入 :

无理数特征值不是错

看到 不要以为算错了。 里那个 型的块(把 送到 、把 送回 )是”交换 + 拉伸”,特征值必然是 这种形式。

一般地: 的特征值是 。 时实、 时复。” 把 送到 方向、又把 送回 方向”就是这个块,本节 1000 强化 7-7 也是同一结构。

880 第十四章综合解答 7

原题 设 是 2 阶矩阵, 是非零向量,且 不是 的特征向量.

(Ⅰ) 证明: 线性无关; (Ⅱ) 记 ,若 ,证明: 相似于对角矩阵,并求 .

解析

(Ⅰ) 反证。设 线性相关,则存在不全为零的 使

  • 若 ,则 ,而 逼出 ,与”不全为零”矛盾;
  • 故 ,于是 —— 这说明 是 的特征向量(特征值 ),与题设矛盾。

所以 线性无关。

" 不是特征向量"的标准用法就是这一句

且 不是特征向量 不是 的倍数 无关。 三句话完全等价,考场上可以直接互换。反证时要记得先排除 ,否则除法不合法。

(Ⅱ) 答案

由 (Ⅰ), 可逆。由条件 ,

故 。

证可对角化: 的特征多项式为，两个互异实根 ,故 可对角化;,所以 也可对角化(相似于 )。

题目问的是 ,不是

这是本题最大的坑。 不是特征向量组成的矩阵,所以 不是对角阵,而是那个友矩阵 。

题干把”证明 相似于对角矩阵”和”求 “并列,就是要看你能不能分清两个不同的相似变换:一个用 (得到 ),一个用 (才得到 )。答 就错了。

递推式直接给特征方程

把 换成 、划掉 ,就是 。与上一题的友矩阵规律完全一致。2 阶版本更短,是理解这条规律的最佳入口。

1000 强化篇第7章 7

原题 设 是 3 阶不可逆矩阵, 是 3 维线性无关列向量,满足 ,,且 ,则 ____.

题干还原

OCR 原文作”且 “,显系 被识别为 。按上下文(问"")还原为 。

解析

答案，第一步:从”交换”结构里读出两个特征值。 把 送到 、把 送回 ,所以和与差是特征方向:

无关 都非零,故 与 都是特征值。

第二步:不可逆给出第三个。 不可逆 是特征值。

三阶矩阵只有三个特征值,已被 占满,故 (对角元顺序可任意排)。

" "这个条件其实是多余的

因为 三个互异, 必然可对角化,根本不需要题目额外声明。出题人写上它,大概是为了让”求 “这个问法显得合法。

能识别出冗余条件,是本章的一个隐性考点(880 基础解答 8、1000 强化 3、1000 强化 9 都有同款设计)。识别方法:做完题后回头问一句”哪个条件我没用到”。

交换型结构的通用公式

若 、( 无关),则

特征值 。更一般地 、 给出特征值 ,特征向量 —— 这正是上一题 的来历。

1000 强化篇第7章 8

原题 设 均为 阶矩阵,, 为 维非零列向量,则” 是 的特征向量”是” 是 的特征向量”的( ).

(A) 充分必要条件　(B) 充分非必要条件　(C) 必要非充分条件　(D) 既非充分又非必要条件

解析

答案 A(充要)。

充分性(): 设 。左乘 :，只差一步: —— 由 且 立得。故 是 的特征向量。✓

必要性(): 设 ,即 。 可逆,左乘 :，而 ,故 是 的特征向量。✓

选 A。

这题是" 与 特征值相同"的向量版

可对角化的判定里 880 综合解答 12 证的是特征值对应关系: 是 的特征值 是 的。本题把对应的特征向量也明确写出来了:

对对

记住这个”用 搬运”的对应,两边的特征值还是同一个 。

两个方向都要用

充分性用它保证 ;必要性用它做左乘 。去掉可逆性,两边都塌:例如 时 ,压根不是特征向量,充分性失效。

顺带:在 880 综合解答 12 的一般证明里,是靠""来保证 的(若 则 矛盾)。两种保证方式,选一个用即可。

拓展

880 第十四章综合解答 16

原题 设 不可逆,且满足 ,,其中 是 3 阶矩阵, 是 3 阶单位矩阵, 是 的伴随矩阵.

(Ⅰ) 求 ; (Ⅱ) 证明: 相似于对角矩阵,并求 .

解析

(Ⅰ) 答案 。

先用”不可逆”定 :

令 得 ,此时

第 3 行 第 1 行,而前两行不成比例,故 。由伴随秩三分法,，(Ⅱ) 答案: 可对角化,,且，第一步: 贡献 的特征子空间。 改写为

的列

即 的几何重数 。

第二步: 贡献 。 转置(把 挪到左边):

的列

而 ,故 的几何重数 。

第三步:夹逼。，三处取等, 恰有 3 个线性无关的特征向量,可对角化,且，第四步:求 。 设 ,则，即 。

"特征值全是 且可对角化"

这是对合矩阵的判据,答案漂亮得不像话:整个 都不用求出来。

一般化:若 可对角化且每个特征值都满足 ,则 。 本题 ,。上一节 1000 基础 18()是同一条规律的 2 阶版本。

三个陷阱各说一句

① 必须先定,否则 的秩不确定,后面全塌。 ② 转置那一步()不能省,理由与 1000 强化 17 完全相同。 ③ 不能由 反推 : 是 的相似,不是 也不是 。题目只问 ,恰恰因为 本身定不下来( 有自由度)。

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