考研笔记

矩阵幂与递推数列

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方法模板

求 的五条路线(按优先级)

看到什么走哪条公式
外积
零化多项式简单(、)周期 / 幂等 或 ,按奇偶
且 幂封闭二项式展开后用 收敛
可对角化相似还原
不可对角化Jordan 块

先花十秒判断走哪条,能省十分钟

顺序是有讲究的:前三条都不需要求特征向量,只有第四条要。看到 就先问:秩是 1 吗?有没有明显的 关系?能不能写成 全阵外积?

第五条最费力,但当 有重特征值且几何重数不够时,别无选择。

满秩分解降维:( 是 阶, 是 , 是 )

是 阶小方阵。当 时,把 阶矩阵的幂降成 阶矩阵的幂。

就是外积公式

时 是个数, —— 正是表格第一行。秩 1 只是这条公式的特例。

递推数列 矩阵幂的翻译

一阶方程组: 若 ,则

做法固定三步: ① 求 的特征对;② 把初值 按特征向量分解;③ 每个分量各自乘 。

高阶单数列: 改写成

伴随矩阵的特征方程就是递推的特征方程 。

初值恰好是特征向量时,题目送分

若 本身就是某个 的倍数,那么 作用上去只是乘 ,一步出结果。出题人常把 (1) 问设计成这样、(2) 问才需要分解 —— 见 1000 强化 7-9。

左特征向量:只看某个线性组合时的捷径

若只需要 这样一个标量序列,而 恰好满足是左特征向量，则 ,变成一阶等比数列,完全不必求 。

怎么找

,所以左特征向量就是 的特征向量。特征值 与 的相同(转置不改特征值)。题目问”求 “或”求 “时,先试试 或 是不是左特征向量。

必考

1000 强化篇第7章 9

原题 设 .

(1) 当 时,求 ; (2) 当 时,求 .

解析

答案:(1) ,;(2) 。

准备: 的特征对。

特征值 。

  • : 即 ,取 ;
  • :,取 。

(1) 初值恰是特征向量。 ,所以

一行做完,连 都不用碰。

(2) 初值需要分解。 设 :

于是

(1) 问是在教你 (2) 问该怎么做

出题人把”初值恰是特征向量”的情形先给出来,就是在演示”特征方向上,矩阵作用退化成数乘”。(2) 问只是把初值拆成两个特征方向的和,各走各的。

通用画面:任意初值 = 若干个特征方向的叠加;每过一步,每个方向各自乘自己的 。 这也是 3b1b 讲特征向量时的核心图像 —— 见3b1b:特征向量与特征值。

,别丢符号

第二个特征值是负的, 的奇偶会影响结果。本题 偶数,所以是 ;若问 ,答案就是 。指数是具体数字时,先把奇偶算清楚再落笔。

880 第十四章拓展解答 3

原题 设数列 满足 ,,求级数 的和.

解析

答案 1。

巧解(两行,考场首选):直接盯住 。

由递推,，相减:， 是公比 2 的等比数列! ,故

为什么这么巧? 因为 是 的左特征向量:

于是 自动满足 。题目问 而不是 ,正是在暗示这一点。

另解(常规:对角化,用来复核)。，特征值 ; 的特征向量 , 的是 。分解初值:

注意 项恰好抵消 —— 因为 的特征向量是 ,而 。左右特征向量在不同特征值上互相正交,这就是巧解成立的机理。

看到"求 ""求 ",先试作差 / 求和

这类题几乎从不需要真的算出 与 。把两个递推式直接相减(或相加),看能不能得到关于组合量的一阶递推。 成了就一步到位。

本题若老老实实求出 再作差,计算量是巧解的五倍,而且中途容易把 写错。

高数与线代的缝合点

最后一步是等比级数求和(第八章无穷级数)。李林的拓展题很爱这样跨章缝合:线代给出通项,高数负责求和。做完 后,记得级数从 起,首项是 而不是 1。

1000 强化篇第8章 20

原题 在某一核反应堆中有 与 两种粒子,若每秒钟 1 个 粒子分裂成 3 个 粒子,且 1 个 粒子分裂成 2 个 粒子与 1 个 粒子. 设在 时刻,该反应堆中只有 1 个 粒子,记 分别表示 秒时 粒子、 粒子的个数.

(1) 证明 ; (2) 求 秒时反应堆中的粒子总数 .

解析

(1) 先把”分裂规则”翻译成递推。

  • 粒子只能由 产生(每个 生 1 个 ),故
  • 粒子有两个来源:每个 生 3 个,每个 生 2 个,故

把第一式代入第二式消去 :,,于是，写成矩阵形式(伴随矩阵):

初值: 时只有 1 个 ,故 ,从而 。代入即得

(2) 答案 。

巧解(一行,强烈推荐):数一数每个粒子变成几个。

  • 1 个 3 个 :总数 ;
  • 1 个 2 个 + 1 个 :总数 。

无论哪种粒子,每秒都恰好变成 3 个粒子。 记总数 ,则，另解(老实解递推,用来复核)。 的特征方程给出 ,故 。由 :

相加, 项抵消:

巧解的本质: 是左特征向量

总数 ,而原始的粒子转移矩阵(以 为状态)是 ,

列和都等于 3,正对应”每个粒子变成 3 个”。 与 880 拓展解答 3 的 是同一招。

通用识别:转移矩阵的列和(或行和)全相等 那个公共值是特征值,对应的左(或右)特征向量是全 1 向量。 这在概率论的转移矩阵里更是天天用。

递推方向别写反

“1 个 分裂成 2 个 与 1 个 “给的是 贡献,所以 里出现 而不是 。下标写错一位,整题全废。 稳妥做法:先写” 时的量 = 时各种粒子的贡献之和”,再逐项填。

1000 强化篇第8章 10

原题 设矩阵 与 相似,且 的一个解为 .

(1) 求 的值; (2) 求 .

解析

(1) 答案 ,。

先用”给定的解”定 。 把 代入 :

三个分量比对:; ✓; ✓。故 。

(注意 在这一步被 消掉了,所以定不了 —— 需要下一步。)

再用相似定 。 的特征值为 ,故 。 的第二列只有 位置的 2 非零,按第二列展开:

(核验 ✓,自动满足。)

(2) 答案

关键: 不可对角化,所以要走 Jordan 块。

的几何重数

已经是 Jordan 形,所以

(用了 )。

求 使 ,即 逐列比对。 记 , 的三列是 :，即 是 的特征向量、(广义特征向量)、 是 的特征向量。

。

  • : ,(第 3 行 第 1 行),得 、,取 ;
  • : 解 。第 1 行 、第 2 行 (第 3 行是第 1 行的 2 倍,自动相容)。取 : —— 正是题目给的那个解!
  • : ,,得 ,取 。

验算:把 100 换成一般的 ,得到通式

取 : ✓ 通过。

题目给的那个"解"其实就是

条件” 的一个解为 “改写成

正是求广义特征向量的方程。出题人把 藏在第 (1) 问里白送给你了,第 (2) 问只需求 。看出这一点能省一次消元。

与 相似但都不可对角化, 只能靠 逐列解

这里不能用 —— 那条公式要求两边都能对角化。不可对角化时的唯一通法是把 展开成列方程组,一列一列往下解,每一步的右端用上一步的结果。这就是 Jordan 链的求法,详见不可对角化与 Jordan 链。

写出通式 再代 ,是最强的验算

直接验 没法算。但把 100 保留成符号 ,代 就该还原成 本身 —— 这一步能抓住绝大多数计算错误,值得多花一分钟。

1000 强化篇第8章 9

原题 若矩阵 的伴随矩阵 相似于矩阵 ,其中 .

(1) 求 的值; (2) 求 .

解析

(1) 答案 。

是下三角,特征值为 ,故，直接展开 (第 2 行只有 非零):

令 ,得 。

顺带确认 : ,而 ,故 。

(2) 答案

第一步:。 由 。

第二步: 是对合矩阵。 ,而 可对角化吗?

的几何重数 代数重数 ✓,故 (从而 )可对角化:，于是，第三步:所以 。 由 得 ,而 ,故

直接验证 :

第四步: 是奇数,故，

"可对角化 + 特征值都是 "

这条对合判据在880 综合解答 16 也用过,是本章最好用的”闭式”结论之一。一旦拿到 ,任意次幂只剩奇偶两种情况。

同族的还有:特征值都是 且可对角化 (幂等,);特征值都是单位根 有限阶。

必须先验 可对角化,才能说

若 不可对角化(比如 处有 Jordan 块),那么 ,整条路断掉。“特征值都是 “只保证 的特征值都是 1,不保证它等于 。

本题 的形状 特意把 放在 位置 —— 它连接的是 与 两个不同的特征值,不构成 Jordan 块。这与880 基础选择 3 里 、 的对照是同一个考点。

1000 强化篇第8章 21

原题 已知矩阵 ,,.

(1) 求矩阵 ; (2) 计算 .

解析

(1) 答案

的两列记为 、。 意味着 的第 列 。

逐列比对,用第 3、4 个分量最省事(因为 的第 3 分量是 0、 的第 4 分量是 0):

的第列的第列

即 的第 1 行 = 的第 4 行, 的第 2 行 = 的第 3 行:

验算(第 1、2 分量): 每列都应满足 :、、、 ✓,与 的前两行全为 1 吻合。

(2) 答案

关键:满秩分解降维。 是 4 阶但 ,写成 ( 是 、 是 )后，把 4 阶矩阵的 10 次幂,换成 2 阶矩阵的 9 次幂。

算 :

算 : 下三角,设 。右乘一次得 ,,故

合成:

再左乘 (它的四行是 ):

验算:通式

代 ()得 ✓ 通过。

看到"低秩的高阶矩阵求幂",先想满秩分解

判断信号: 的行(或列)之间有明显的重复或线性关系。本题前两行完全相同,一眼可知 ;再看第 3、4 行与前两行的关系,得 。

分解方法:取 为 的列的极大无关组(或题目直接给), 由表示系数构成 —— 这正是第12章”用极大无关组表示其余向量”的动作。第12章的技术,在这里变成了降维加速器。

为什么 的第 4 行永远是

的第 4 行 的第行。而 的第一行是 ,所以 恒成立 —— 是 的左特征向量,特征值 1。 于是第 4 行 的第一行,与 无关。

这又是左特征向量在起作用,和 880 拓展解答 3、1000 强化 20 是同一件事。

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