实对称矩阵与正交对角化

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谱定理:实对称矩阵的四条特权

设 是 阶实对称矩阵。则:

1. 特征值全为实数(复根一律作废);
2. 必可对角化,不必检查几何重数;
3. 不同特征值的特征向量自动正交;
4. 存在正交矩阵 ()使

第 3 条是本节所有"填空 / 反求"题的引擎

一旦知道某个特征值的特征向量,其余特征子空间就被锁在它的正交补里。三阶题里最常见的形态:知道单重特征值的 ,则二重特征值的特征子空间恰是平面 ,基础解系随手就能写。

反过来也成立:知道二重的两个向量,单重的那个由两次正交唯一确定(到倍数)。

正交对角化的五步流程

1. 求特征值(重数标清);
2. 每个特征值解 得基础解系;
3. 同一个重特征值内部做 Schmidt 正交化(不同特征值之间不用,已自动正交);
4. 全部单位化;
5. 按列拼成 ,对角元按同一顺序写成 。

第 3 步只在重特征值内部做

把不同特征值的向量拿去正交化是白费功夫,还容易破坏”它是特征向量”这件事 —— 因为跨特征值的线性组合不再是特征向量。Schmidt 的作用域严格限制在单个特征子空间内。

反求 的两条路

路线	公式	适用
相似还原		特征向量不正交,或只要
谱分解		实对称,特征向量已两两正交

谱分解版本免去求逆

,其中 是单位特征向量。若手上的 未单位化,就写成 。特征值为 0 的项直接不写 —— 这让秩 1、秩 2 的题极短。

三个高频翻译

题面	立刻写出
”每行元素之和为 ”	:,
""(实对称)	恰好 重,非零特征值 个
” 的通解是 ”	的特征子空间 ,其余特征向量在它的正交补里

必考

880 第十四章基础解答 1

原题 设 . 求:

(Ⅰ) 的全部特征值和特征向量; (Ⅱ) 可逆矩阵 ,使得 ; (Ⅲ) 正交矩阵 ,使 .

解析

这是本章的全流程样板题,五个步骤一个不少。

(Ⅰ) 特征值与特征向量。

巧解求特征值: ,其中 是全 1 阵。 的特征值为 (秩 1,迹 3),故 的特征值为，常规解: 三行相加得公因子 ,再配合 定出剩下两个都是 。

• : ,即 。每行元素之和为 0,所以 一眼就是解;秩为 2,故

• : ,秩 1,方程归结为一个 :

特征向量 ( 不全为零)。

(Ⅱ)

(Ⅲ) 正交化。 与 自动正交(、),只需在 的平面内对 做 Schmidt:

单位化:

验算 的两秒动作

每列长度为 1(平方和 )、任两列内积为 0。本题:第 1 列 ✓;第 3 列 ✓;第 2、3 列内积 ✓。

写完 一定要扫这一遍,漏了单位化是本节最高频的失分点(此时 不是 ,得到的是别的东西)。

这个分解值得单独记

凡是”对角元全为 、非对角元全为 “的矩阵,都可以写成

特征值为 (一重,)与 ( 重,特征子空间 )。这一族矩阵在本章、第15章都反复出现(880 综合解答 6、1000 强化 4),记住公式能省下整段计算。

880 第十四章基础选择 2

原题 设 4 阶实对称矩阵 的特征值为 ,则 .

A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

解析

答案 C。

实对称 可对角化,;相似保秩,故

"实对称"在这里是冗余的

四个特征值 互异,单凭这一条就保证可对角化。所以本题给”实对称”只是让题面更自然。

但反面情形要警惕:若特征值有重复且不给”实对称”,秩就定不下来。例如 4 阶矩阵特征值为 时, 可以是 2(可对角化)也可以是 3( 处有 Jordan 块)。“非零特征值个数 = 秩”这条只对可对角化的矩阵成立。

880 第十四章综合选择 6 ≡ 880 第十四章综合填空 2

原题(综合选择 6) 设 是 3 阶实对称矩阵, 满足 ,且 , 为任意常数,则方程组 的通解为( ).

A. 　B. C. 　D.

原题(综合填空 2) 设 是秩为 1 的实对称矩阵, 是 的一个特征值,对应的特征向量为 ,则方程组 的基础解系为 ____.

同源题

两题的设定完全相同(实对称、秩 1、 的特征向量是 ),一个问通解、一个问基础解系。合并解析。

解析

综合选择 6 答案 B;综合填空 2 答案 。

第一步: 就是 的特征子空间。 ,而 实对称,故 是二重特征值, 就是它的特征子空间(二维)。

第二步:实对称 不同特征值的特征向量正交。 属 ,所以，第三步:在选项里找出”两个都与 正交”的那一组。 逐个点乘 :

向量	与 的内积
	✓
	✘
	✓
	✘
	✘

四个选项的第一个向量都是 (都合格),胜负全在第二个:只有 B 的 与 正交。且 无关,恰好构成二维解空间的基。选 B。

出题人把陷阱做成了"第一个向量全相同"

四个选项第一个向量一致,是在诱导你只算第二个。这没错——但必须两个都验,否则万一第一个不合格就全盘错。规范动作:把 写在纸边,五个候选向量依次点乘,不到二十秒。

这个具体数值完全没用上

只用了”2 是另一个特征值”,即 。换成 ,答案一字不变。 识别出这种”数值型废话条件”能让你更快锁定真正的机制:实对称 + 正交补。

880 第十四章基础解答 6

原题 设 是 3 阶实对称矩阵,,, 的二重特征值对应的特征向量为 . 求:

(Ⅰ) 的特征值与特征向量; (Ⅱ) 可逆矩阵 ,使得 .

解析

(Ⅰ) 答案:特征值 (单重)与 (二重);

第一步:从 读谱。 的三行成比例(),故 ;。秩 1 矩阵的特征值是 ,即， 的特征值也是 。所以题目说的”二重特征值”是 , 是 的一组基。

第二步:用两次正交定出 的特征向量。 实对称,故 的 与 都正交:

由第一式 ,代入第二式 。取 :，(Ⅱ)

验算: 可逆吗? ✓。另外 与 正交也已保证无关。

这题的核心动作只有两个字:"正交"

题目给了二重特征值的两个向量,单重那个就被两个正交方程唯一钉死(到倍数)。这是三阶实对称题最常见的信息布局。反过来的布局(给单重、求二重)见上一题。

通用口诀:实对称的三个特征方向互相正交,给了两个就能算第三个;给了一个就能算另外两个所在的平面。

别去求

本题完全不需要写出 。有人会想”先用 求出 再验证”——那要算一次三阶逆,纯粹浪费。特征值、特征向量、、 四样东西自成闭环。

顺带:若真要求 ,谱分解最快: —— 两个 0 特征值的项直接不写。

880 第十四章综合解答 9

原题 设 可逆, 是 3 阶实对称矩阵,且满足

求:(Ⅰ) 的特征值和对应的特征向量;(Ⅱ) 正交矩阵 ,使得 .

解析

(Ⅰ) 答案:特征值 (单重)与 (二重);

第一步:把 读成”列的缩放”。 记 。观察等式右端:

• 第 1 列是 —— 原封不动;
• 第 2、3 列是 的第 2、3 列的 2 倍。

所以

可逆,故，于是 的特征值是 ,且 是 的特征向量。

第二步: 靠正交补。 虽然也是 的特征向量,但题目没给它们的具体值。用实对称的正交性:，基础解系 。

(Ⅱ) 在 的平面内 Schmidt(与 880 基础解答 1 完全同一步):

单位化后

" 实对称"是唯一能补上缺失信息的条件

题目故意只给出 的第一列,后两列全是未知的 。若 不对称, 的特征子空间就完全无法确定 —— 它由那些未知的 张成。正是”实对称 正交”把未知的信息补齐了。

做题时的信号:题给的矩阵里有大片未知元素,却问得出确定答案,那就一定要用到某个”自动补全”的结构 —— 本章里几乎总是实对称的正交性。

这道题与 880 基础解答 1 的 完全相同

因为两者的谱结构一样:单重特征值配 、二重特征值配平面 。 只取决于特征向量,与特征值数值无关。 记住这个 ,遇到” 型”的实对称题可以直接搬。

1000 基础篇第5章 12

原题 设 是 3 阶实对称矩阵,已知 的每行元素之和为 3,且有二重特征值 . 求 的全部特征值、特征向量,并求 .

解析

答案:特征值 ;

第一步:行和翻译。 每行之和为 3 ,故 、。加上题给的二重 ,三个特征值凑齐:()。

第二步: 的特征子空间 = 。 实对称,故

第三步:求 —— 巧解(强烈推荐)。

的特征值是 ,所以 的特征值是 —— 秩 1!而 实对称、秩 1、特征值 2 配 ,由谱分解

(核验行和: ✓。)

利用 ,二项展开:

(用了 与 。)

写成元素形式:对角元 ,非对角元 。

另解(常规相似还原)。 ,。需要算一次三阶逆,结果相同但计算量大得多。

"特征值只有两个值"就去减掉那个重的

本题谱是 ,减掉重特征值 1 之后 变成秩 1,而秩 1 矩阵的谱分解只有一项 —— 这是求 最省力的路。

通用形态:若 的特征值只有 ( 重)与另外几个,那么 的秩是 。 时秩 1,题目就送分了。

必须写出来

二项展开能收敛成闭式,全靠 的幂只差常数倍。若换成一般矩阵, 是展不开的。看到全 1 阵、、投影阵这类”幂封闭”的矩阵,才可以走二项式。

1000 强化篇第8章 19

原题 设 为 3 阶实对称矩阵,已知 的各行元素之和及主对角线元素之和均为 2,且 与 是线性方程组 的两个解,求矩阵 .

解析

答案

第一步:行和给第一个特征对。 各行之和为 2 ，第二步:两个解相减给第二个特征对。 这是本题最巧的一步。 都满足 ,相减:，而 ,约掉倍数:，第三步:迹给第三个特征值。 ,故，第四步:两次正交给第三个特征向量。

第五步:谱分解求 。

逐个元素:

四重验算(全部通过):

• 对称 ✓;
• 各行和 ✓; ✓;
• ,而 ✓;
• ✓,同样 ✓。

"同一非齐次方程的两个解,差是齐次解"—— 第13章的原话

本题第二步就是这句话在特征值语境下的应用: 的两解之差满足 ,即 的特征向量。

看到” 与 是同一个方程组的两个解”,第一反应永远是”作差”。 不作差就得去解那个含未知 的方程组,做不下去。

谱分解里的分母不能漏

没有单位化,所以每一项都是 ,分母分别是 。漏掉分母的结果连”行和为 2”都过不了。四重验算里任意一条不过,就是分母或符号出错了。

1000 基础篇第5章 23

原题 设 为 3 阶实对称矩阵,,齐次线性方程组 的通解为 , 为任意常数,求 .

解析

答案

第一步:从通解读谱。 通解含两个自由参数 ,故 是二重特征值,特征子空间由 张成。由 ,，第二步:两次正交定 的方向。

取 :。

第三步:谱分解 —— 只剩一项。 两个 0 特征值的项直接不写:

(。)

第四步: 是幂等阵,所以 。 直接验证:

故 对一切 成立。

特征值角度的复核: 的特征值是 ,而 、,所以 与 有完全相同的谱和特征向量, ✓。

秩 1 实对称阵 = 投影(乘上一个常数)

的所有幂都是

因为 本身是幂等的(它就是往 方向的正交投影矩阵)。本题 ,所以 ;若 ,就是 。记住这个公式,秩 1 求幂永远是一行。

与 880 基础解答 6 的巧合

本题算出的 正是 880 基础解答 6 里的那个 !两题同一个矩阵,一题从它出发问谱,一题反向从谱构造它。看到 型的秩 1 阵,直接想到 、。

880 第十四章综合解答 13

原题 设 是 阶实对称矩阵, 是 的 个单位正交特征向量,对应的特征值为 ,证明:

解析

这就是谱分解定理,上面几题反复在用它,这里把证明补上。两条路都值得掌握。

证法一(矩阵形式,三行): 令 。由”单位 + 正交”,,即 是正交矩阵,且

把右端按分块乘法展开:

证法二(验作用,更稳妥): 记 。对每个 ,

(中间用了单位正交性 。)

于是 与 在基 上的作用逐个相同。两个矩阵在一组基上作用相同,必然相等(因为 且 可逆 )。

证法二是本章通用技术的又一次露面

“在一组基上作用相同 矩阵相同” —— 这正是由基上的作用定特征值那一节的核心思想反过来用。写法固定:算 ,发现等于 ,再引”、 可逆”收尾。

相比证法一,它不需要动分块乘法,考场上更不容易写错,而且核对能力更强:哪一项算错了, 立刻对不上。

"单位"两个字缺一不可

若 只正交不单位,公式要改成 。上面 1000 强化 19、1000 基础 23 用的都是这个带分母的版本 —— 因为手算出来的基础解系从来不是单位向量。

检查方式: 的迹是 。要让每一项贡献的迹恰好是 ,分母必须是 。

拓展

880 第十四章综合解答 11

原题 设 ,,,. 若方程组 有无穷多解.

(Ⅰ) 求 的值,并求方程组 的全部解; (Ⅱ) 当 为何值时,存在正交矩阵 ,使得 ?并求正交矩阵 .

解析

(Ⅰ) 答案: 或 ,对应通解

无穷多解 。 按第 2 行展开:

,故 。两个都要代回检验相容性(第13章纪律):

: ,。增广矩阵第 3 行 第 1 行(右端也一致), ✓ 无穷多解。由 、 得上式。

: ,。第 3 行 第 1 行(右端 ✓), ✓。由 、 得上式。

两个 都合格。

(Ⅱ) 答案 ,

第一步:正交相似 特征值必须完全相同。 求两边的谱。

的特征值为 。

是块对角:,前一块的特征值为 ,故 的特征值为 。

第二步:匹配。 两边都含 ,故需 :

• 且 ✓(两式一致);
• 且 与 ,矛盾 ✘。

故 。此时 与 的特征值都是 ,且两者都实对称,各自可正交对角化 存在正交 使 ✓。

第三步:求 。 时

取公共的 。

的单位特征向量:;;。记为 。

的单位特征向量:;;。记为 。

验算: 是置换矩阵(交换第 2、3 位),。 就是把 的第 2、3 行和第 2、3 列都交换:

是 的正交版

因为 正交,,连求逆都省了。而且两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵,所以 自动满足题目要求。

本题结果居然是个置换矩阵,这不是偶然: 与 的差别恰好就是”第 2、3 个坐标对调”。算完 若发现它异常简单,直接用 验一遍,比重算一次快。

(Ⅰ)(Ⅱ) 的 不必相同

(Ⅰ) 的答案是 两个,(Ⅱ) 只有 。两问的条件不同,答案本来就不必一致,不要以为 (Ⅱ) 只需在 (Ⅰ) 的答案里挑 —— 虽然本题恰好如此。做 (Ⅱ) 时要独立从”特征值相同”出发。

880 第十四章综合解答 10

原题 设向量组 (Ⅰ) ,(Ⅱ) (),向量组 (Ⅰ) 与 (Ⅱ) 等价.

(Ⅰ) 求 的值; (Ⅱ) 记 ,问当 为何值时,存在正交矩阵 ,使得 ?并求 及 .

解析

(Ⅰ) 答案 。

第一步:先看 (Ⅱ) 组的秩(它更简单)。 注意，所以 (Ⅱ) 的秩 ( 的第 2 分量分别是 ,必无关)。

第二步:等价 秩相同。 故 ,即 :

,故 。

第三步:两个都验”张成同一空间”。 (Ⅱ) 张成的空间由 与 生成,即平面

• :。而 三个都满足 ✓,且秩 2 ✓,故两组等价。
• :。而 三个都满足 ✓,秩 2 ✓,同样等价。

两个 都合格。

(Ⅱ) 答案 ,

关键:“存在正交矩阵使 为对角阵” 实对称。 这是本题的全部题眼。

逐个比对对称位置:

三个条件一致给出 (而 时 ,不对称)。

此时

求谱: 按第 2 行展开,

特征值 ,三个互异。

特征向量(自动两两正交):

单位化即得 。

这个 与上一题 时的 是同一个矩阵

880 综合解答 11 里 时 ,与本题 时完全相同,谱都是 。两道大题共用一个矩阵,做过一道另一道就只剩读题。

这个矩阵的结构: 型的块(特征值 )加一个孤立的 1。本章出现了至少三次。

"存在正交矩阵使其对角化" = "实对称",这个翻译要秒答

由1000 强化 14 的结论:实矩阵可正交对角化 实对称。所以这类问法根本不用算特征值,直接逐个比对 与 ,解出参数。

对照:若题目只说”存在可逆矩阵 使 “,那就是普通的可对角化,要老老实实查几何重数 —— 完全不同的工作量。“正交”这两个字,值一整段计算。

链接

• 方法总纲:实对称矩阵的谱定理与谱分解 · 实对称矩阵:三维空间里的正交主轴拉伸(几何直觉)
• 同章:由谱反求矩阵 · 秩1与结构型矩阵的谱 · 矩阵幂与递推数列 · 可对角化的判定
• 上一章:第13章 $A^{\mathrm T}A$ 型方程组与法方程(对称性的第一次登场) · 解的结构与通解构造(两解作差)
• 更早:第12章 向量空间与正交化(Schmidt 正交化的出处) · 3b1b:点积与对偶性
• 往后:第15章 二次型(正交变换化标准形 = 本节的五步流程原样搬过去)
• 易错清单:第14章易错点