考研笔记

二次曲面的分类

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方法模板

一、三步判曲面

  1. 求 的谱（正交变换把 化成 ）；
  2. 数正、负、零的个数；
  3. 查表。

判"是什么曲面" 不需要求特征向量

曲面的类型只由三个特征值的符号决定， 只影响坐标架的摆放。选择题只求谱，解答题问到”母线方向""对称轴”时才去求特征向量。

二、分类表（， 为 3 阶实对称）

（右端为正）

符号分布秩曲面
3椭球面
3单叶双曲面
3双叶双曲面
2椭圆柱面
2双曲柱面
1两张平行平面
全非正——空集（无图形）

（右端为零）

符号分布曲面
三个同号一个点（原点）
或 锥面
两个同号 一个零一条直线（ 轴那样的）
两张相交平面

三、两个容易漏的细节

细节 1： 圆柱面要求两个非零系数相等，不只是同号

是椭圆柱面； 才是圆柱面。 同理圆锥面要求两个同号系数相等，球面要求三个都相等。题面出现”圆”字，就要从”同号”升级到”相等”。

细节 2：右端的符号会翻转整张表

等价于 ，所以把全部特征值取反再查表。例如谱 、右端 取反后是 椭圆柱面（系数相等时是圆柱面）。

四、柱面的母线方向 = 的特征向量

标准形里缺哪个变量，母线就沿哪个方向：（无 ）意味着沿 轴平移不改变 的值，而 轴的方向正是 的第 3 列，即 的特征向量。

五、带一次项的曲面：先平移到中心

可逆时，中心 由 确定。作平移 ：

（推导：交叉项 恰好被中心条件消掉；常数项 。）

再用正交变换转轴，即得标准方程。先平移消一次项，再旋转消交叉项——顺序不能反。

必考

880 第十五章基础选择 8

原题

设二次型 ，则 在空间直角坐标系下表示的二次曲面为（　）.

A. 椭球面　　B. 柱面　　C. 单叶双曲面　　D. 双叶双曲面

解析

（3 阶全 1 阵）的谱是 ，故

谱二重

符号分布 ，秩 3，：，查表得单叶双曲面，选 C。

的谱是本章判曲面的第一快捷键

“对角元全相同、非对角元也全相同”的矩阵一律是 型，谱为

一重重

本题写成 （对角 ，非对角 ✓），两个特征值 与 一秒读出，完全不用碰特征多项式。

判符号的更快法： 说明不是全负； 说明负特征值个数是奇数（1 或 3）；两条合起来只能是”两正一负”。

880 第十五章综合选择 3

原题

方程 表示的曲面是（　）.

A. 椭球面　　B. 单叶双曲面　　C. 双叶双曲面　　D. 柱面

解析

平方和型， 恒成立，故 ，只需定秩。系数矩阵

三行之和为零向量，（前两行显然无关）。于是零特征值个，符号分布 ， 椭圆柱面，选 D。

（由 标准形、规范形与惯性指数 里的配方，标准形是 ——两个系数不等，是椭圆柱面而非圆柱面。）

母线方向： 对应 ，即 ，方向向量 。

几何直觉：这是绕 方向的"管子"

只依赖于 之间的差，所以沿 方向整体平移（三个坐标同加一个数）时 不变——这正是柱面的定义。

这条观察对任何”只含差”的二次型都成立： 型永远在 方向退化， 一定是柱面。

1000 基础第 6 章 26

原题

是（　）.

(A) 柱面　　(B) 单叶双曲面　　(C) 双叶双曲面　　(D) 锥面

解析

由 1000 基础 6-1 已算得：

， 且 两负一正。

右端是 0，查 那张表：三个特征值非零且不同号 锥面，选 (D)。

右端是 0 还是 1，结论完全不同

同一个 ：

  • （谱两负一正） 化为 ，双叶双曲面；
  • 锥面（正是那个双曲面的渐近锥）；
  • 取反后是”两正一负”，单叶双曲面。

同一个二次型的三个水平面是”双叶—锥—单叶”三兄弟，锥面是两者之间的临界情形。看题时右端那个数一定要读进去。

选项 (A) 柱面为什么不对

柱面要求秩 ，即至少有一个零特征值。本题 ，秩满，直接排除。先算行列式判秩，能一次干掉”柱面”这类选项。

1000 基础第 6 章 27

原题

已知二次型 ，且二次曲面 是柱面．

（1）求 的值； （2）用正交变换将二次型 化为标准形，并求所用的正交变换； （3）求此柱面母线的方向向量．

解析

（1） 柱面 。沿第 2 行展开：

回代：，第 1、3 行互为相反数， ✓

（2） 可以拆块看：第 2 行第 2 列独立贡献 （特征向量 ）；第 1、3 行列构成 ，谱为 。

谱
方程特征向量

（两两正交 ✓）

（3） 标准形缺 ，故母线沿 轴，即 的第 3 列方向：

母线方向向量即的特征向量

核对：曲面为 ，两个系数不等，是椭圆柱面；沿 方向平移时 不变（因为 ）✓

母线方向的两种等价说法

  • 代数： 的特征向量，即 的解方向；
  • 几何：沿这个方向平移， 的值不变——因为 当 。

所以求母线方向 = 解齐次方程组 ，比求整个 便宜得多。若题目只问第（3）问，第（2）问的施密特全部可以跳过。

1000 强化第 9 章 26

原题

设二次型 ．若方程 表示的曲面为圆柱面，则（　）.

(A) ，且 的规范形为 (B) ，且 在正交变换下的标准形为 (C) ，且 的规范形为 (D) ，且 在正交变换下的标准形为

解析

谱一重二重

柱面 秩 2 恰有一个零特征值，两个候选：

令谁为零谱秩判定
2 ✓继续检验
1 ✗零特征值是二重的，秩掉到 1

所以 ，正交标准形，验证”圆柱面”： 即 ，两个系数相等，确是圆柱面 ✓

选 (B)。

顺带看 (A) 错在哪：，规范形只能有两项，，不可能是三项 ✗

"秩 2"必须由 单重零特征值提供

时 同样成立，但零特征值是二重的，秩只有 1，方程 无实解（空集），根本不是曲面。

这是含参题的通用纪律： 解出的每个候选都要回代验秩，因为”行列式为零”只保证秩 ，不保证秩恰是你要的那个数。

"圆"字是本题的第二道关卡

即便通过了秩的检验，还要看两个非零系数是否相等。这里恰好都是 （因为它们来自同一个二重特征值 ），所以是圆柱面。

一般规律： 型退化成柱面时，若零特征值来自单重的那个（），剩下的两个系数必然相等（都是重根），一定是圆柱面；若来自重根，秩会掉到 1。所以这类题的答案结构是固定的。

拓展

1000 强化第 9 章 27

原题

设 的正、负惯性指数分别为 ，，则 在点 处的切平面方程为 ____．

解析

第一步：定 。

谱一重二重

说明”两正一零”：

令谁为零谱判定
✓采用
✗舍

核对点在曲面上： ✓

第二步：求切平面。 用极平面公式（ 在其上一点 处的切平面是 ）：

即

另解（高数的梯度法）

切平面 ，即 ✓

是线代与高数的接口

记住这一条，二次曲面的切平面题就不用展开成三元函数逐个求偏导。由它立刻得到极平面公式：

在处的切平面：

推导：法向量 ，平面方程 ，展开 ，再用 对称转置即可。

“把点的坐标代进去一半”——这是极平面公式最好记的说法： 里的两个 ，一个换成 ，右端不变。

1000 强化第 9 章 11

原题

已知矩阵 ，，， 为 3 维列向量．

（1）求 ； （2）求正交矩阵 ，使 ； （3）令 ，其中 ，，化简二次曲面方程 ，并说明它表示什么曲面．

解析

先认清题目的结构：曲面方程的二次部分矩阵正是题给的 （对角 ；交叉项 ，， 项缺失 ✓），一次部分 正是题给的 。所以方程就是，而 是它的中心。三问是”找中心 转轴 化简”的标准三步。

（1） 解 ：

（2） ；沿第 3 行展开得

是根（），因式分解：

谱
特征向量长度
3
3
3

（两两正交 ✓，且长度都是 3，单位化格外省事）

（3） 代入 。交叉项自动消失（这正是取 为中心的用意）：

常数项：由 得 ，故

即

符号分布 ，右端为正 单叶双曲面。

常数项的速算公式：

平移到中心后，二次部分不变、一次项全消、常数项从 变成 。

本题 、，新常数 ，移到右端就是 。不必把 硬代进原方程展开——那样做要处理九项交叉，极易出错。

先平移、后转轴，顺序不能反

若先做正交变换 ，一次项会变成 ，仍然存在，还得再配方；而先平移消掉一次项后，剩下的纯二次型再转轴，两步互不干扰。

题目把 放在第（1）问、 放在第（2）问，正是在按这个顺序给台阶。

三个特征向量长度都是 3——这不是巧合

、、 是同一组数字的排列加符号，构成 （正交阵）。这类”整数正交阵”在考研题里是刻意设计的，看到某个特征向量是 这种勾股型三元组，就可以预期另外两个也是它的排列，能大幅加快验算。

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