考研笔记

正交变换化标准形

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方法模板

一、五步流程（与第14章实对称正交对角化完全相同）

步动作本章特有的注意点
1写出对称矩阵 题给矩阵不对称时先取
2求全部特征值优先用结构（、秩 1、行和、已给标准形）省掉特征多项式
3每个 解 ——
4同一特征值内施密特正交化不同特征值的特征向量自动正交，不必再算
5单位化，按列拼成 列的顺序必须与标准形系数的顺序逐位对应

主轴定理就是"实对称必可正交对角化"换了个说法

第14章证的是 ，本章要的是 。因为 正交，，两式是同一个式子。 这就是为什么正交变换既保持相似（谱不变）又保持合同（惯性指数不变）——它是唯一同时做到这两件事的变换。

二、已知标准形，反求参数的两条捷径

正交变换下的标准形系数就是特征值，于是：

定第一个参数（线性方程，最省力） 定第二个参数

用 和 解出的参数必须回代验谱

这两条只保证”和相等、积相等”，不保证特征值逐个相等。三个数的和与积相同，第三个对称函数（）可以不同，谱就不同。880 综合解答 6 里 和 都通过了这两关，只有 才真的给出谱 。回代验证是必答步骤，不是保险动作。

三、结构型矩阵的特征值，看一眼就写

结构特征值出处
（ 全 1 阵， 阶）（一重），（ 重） 的谱是
（一重），（ 重）秩 1
各行元素之和为 是特征值， 是特征向量
， 跑遍 的谱；特征向量与 完全相同平移不动方向
分块对角 两块的谱并起来——

把参数矩阵拆成” 常数阵”是本章最高频的省力动作——参数只挪动特征值，不改变特征向量。

必考

880 第十五章基础解答 1

原题

设二次型 ．

（I）求一个正交变换 ，将 化为标准形； （II）利用配方法，将 化为标准形．

解析

（I） 试 ：

三行两两成比例，，故 的几何重数为 ，即 。由 得 。（核对： ✓）

：解 ，取 ，施密特：

：，由 与 得 。 （顺手验一下正交性：， ✓）

（II）配方法（注意：结果与（I）不同，这是正常的）

对含 的项先配：

令

系数阵行列式上三角

得标准形 。

两个标准形不一样，但惯性指数一样——这正是本题的教学点

与 三个系数完全不同，但都是三正零负，。标准形不唯一，规范形唯一（都是 ）。

配方法出来的系数不是特征值，因为它用的变换只可逆、不正交——它不保长度、不保角度，只保”正负号的个数”。

配方法的两条纪律

  1. 每次消掉一个变量的全部出现：先把含 的所有项（含交叉项）打包配成一个平方，之后 就再也不出现了；
  2. 变换必须可逆：按 依次以 为主元写出来，系数阵自动是上三角且对角线全 1，可逆性不用另证。

880 第十五章基础解答 2

原题

已知二次型 ，经过正交变换化成标准形 ，求参数 及所用的正交变换．

解析

是分块对角阵 ，特征值直接读出： 与 。

标准形系数即特征值，故集合相等：

时 ，逐个求特征向量：

方程特征向量单位化
1
2
5

按标准形的系数顺序 排列：

的列序与标准形系数序必须一一对应

若把 的第 1、2 列对调，得到的标准形就是 ——数学上同样正确，但与题目要求的形式不符，答案判错。写完 一定回头核一遍列序。

也别忘了检查 ：题目若要求”旋转变换”（），发现 时把任意一列取反即可。

880 第十五章综合解答 5

原题

设二次型 （ 为常数，）．

（I）求一个正交变换 将 化为标准形； （II）设 ，求方程 的全部解．

解析

（I） 参数只是平移，先攻 。；（前两行成比例的相反数，第三行独立）故 ；二阶主子式之和

于是 的特征值为 ，特征向量与 的完全相同：

（）（）特征向量

三者两两正交（不同特征值，自动成立；也可直接验： 等）。单位化：

（II） 注意 ，故 。由 ：

平方和为零 ：

任意

见到 或 （ 对称），立刻降级为

这是本章最高频的”二次方程降成一次方程”手法：

前提是把它写成 的形式，即 对称（或原本就是 ）。若 不对称且不是这个形状， 的解集会大得多。

参数 从头到尾没参与计算

拆成 之后， 只在最后一步写标准形系数时露面。含参实对称矩阵只要能拆成” 无参阵”，参数就完全不进入求特征向量的计算——这是本章省力的第一招。

880 第十五章综合解答 6（第 I 问）

原题

设二次型 ，在正交变换 下的标准形为 ，其中 ．

（I）求 的值及正交矩阵 ； （II）若正定矩阵 满足 ，其中 是 的伴随矩阵，求 ．

解析（第 I 问；第 II 问见 正定平方根与分解）

谱

用迹定 ： 。

用行列式定 ： ，而

或

回代验谱（这一步不能省）：

  • ：，特征值为 ——和是 6、积是 4，两条都过关，但谱不是 ，舍去。
  • ：（ 为全 1 阵）， 的谱是 ，故 的谱是 ✓

求 ：

  • ：（ 的非零特征方向）；
  • ：，取 ，施密特得 与 。

按标准形顺序 排列：

本题就是" 与 相同但谱不同"的现成反例

给出的谱 与目标谱 ：和都是 6，积都是 4，只有 不同（…… 具体不必算，结论是不同）。

记住： 个数需要 个对称函数才能定死。三阶只用 和 是两个条件定三个数，必然可能多解。见 第14章 相似的判定与不变量。

1000 基础第 6 章 4

原题

设二次型 经正交变换可化为标准形 ，则 （　）.

(A) 0　　(B) 1　　(C) 2　　(D) 3

解析（结构识别，一步到位）

（3 阶全 1 阵）的谱是 ，故 的谱是一重二重，与 对齐： 且 ，两式都给 。选 B。

另解（迹）

。（选择题这一步就够了；解答题仍需回代验谱。）

是本章参数题的标准外形

凡”平方项系数全相同、交叉项系数也全相同”的二次型，矩阵一定是 型：

谱是 （一重）与 （ 重），特征向量永远是 与 ，与参数无关。这个模板在正定含参、二次曲面、最值题里反复出现。

1000 基础第 6 章 5

原题

设二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中 ．若 ，则 在正交变换 下的标准形为（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

由 读出每一列各自对应哪个特征值：， 的三列依次是 。两条事实：

  1. 特征向量乘非零常数仍是同一特征值的特征向量：，所以 仍对应 ；
  2. 与 长度相同、 三列仍两两正交且单位， 仍是正交矩阵。

于是，选 C。

正交阵的列可以换序、可以整列取反，唯独不能只改一部分

允许的操作：列的置换（对应对角元同步置换）、整列乘 （对角元不变）。 不允许：某列乘 （不再单位）、两列相加（不再正交）。

这条也解释了”正交对角化的 不唯一”到底有多少自由度： 个特征值互异时， 恰有 种取法（每列 ，列间可换序）。

拓展

880 第十五章综合解答 10

原题

设 ，，已知方程组 与 同解．

（I）求 的取值范围； （II）当 为实对称矩阵时，求正交变换 ，将二次型 化为标准形．

解析

（I） 恒成立，所以解集始终有包含关系，同解 两个解空间维数相同 。

的两行 与 因第 2 分量 恒不成比例，故 恒成立。

观察到第 1 行 第 3 行。用第 3 行消第 2 行：，于是 （ 时只剩第 3 行，秩为 1）。

（II） 对称要求 （比较 与 元），即 ；此时 与 元同为 、 与 元同为 ，全部吻合：

这是分块结构：第 2 行第 2 列独立出来贡献 ；剩下的 谱为 。故

特征向量

" 与 同解"是第13章的秩语言

一般地，对 ，

与同解

本章借它来定参数，方法完全是第13章的。见 第13章 同解方程组与解集包含。

是 但秩只有 2，标准形必缺一项

（由第 I 问，）已经预告了标准形只有两个非零系数。算完特征值发现三个都非零，就说明前面算错了——这种自检在解答题里很值钱。

880 第十五章拓展解答 1

原题

设二次型 ．求：

（I）二次型 的秩； （II）可逆矩阵 ，使得 ，并求二次型的正惯性指数．

解析

记 ，则 ，故

全阵

（I） 是秩 1 阵，谱为 （一重）与 （ 重）。于是 的谱为

一重重

（II） 特征向量与 的完全相同：

  • ：；
  • ：解 ，即 ，取

正惯性指数 （负惯性指数 ）。

另解（不求特征值，直接看正定性）

由柯西—施瓦茨不等式，，即 恒成立，且等号成立当且仅当 。所以 半正定（），零点集恰是一维直线 ，故 、。

柯西—施瓦茨的取等条件直接给出秩

且 的解空间维数 。半正定二次型的零点集就是 的解空间（见 二次型的矩阵、秩与平方和型），所以”取等条件是一条直线”直接翻译成 。

这条路线不需要写出 ，也不需要碰特征值——第 I 问在两行之内解决。

只要求可逆，不要求正交

题目说的是 ，所以 不必施密特正交化（它们两两不正交：）。若题目改成”求正交矩阵 “，才需要对这 个向量做施密特——那是明显更大的计算量。看清题目要的是 还是 ，能省一大截。

1000 基础第 6 章 7

原题

已知二次型 对应的矩阵为 ，且其在正交变换 下的标准形为 ．

（1）求 的值和正交矩阵 ； （2）设矩阵 ，若 与 相似，求 的值。在此情形下，是否存在正交矩阵 ，使 ？若存在，求 ；若不存在，请说明理由．

解析

（1） ，。

核对： 时 ✓

  • ：，秩 1（几何重数 2 ✓），解 ，取 ，施密特得 与 ；
  • ：由 、 得 。

（2） 是下三角阵，特征值就是对角元 。相似要求谱相同：， 实对称必可对角化，故 也必须可对角化，即 的几何重数为 2，：

秩为 1 要求 与 成比例，即 ：

是否存在正交 使 ？不存在。 理由一行：

正交

即 必须是对称矩阵。而这里 显然不对称，矛盾。

这是"相似成立、正交相似不成立"的干净反例

（谱相同且都可对角化）完全不能推出存在正交 使 。

判据极简：正交相似于实对称阵的矩阵必然实对称。所以只要目标矩阵 不对称，正交相似立刻出局，一行话答完，不必真去尝试构造 。

反过来若 恰好对称且与 同谱，那就一定存在这样的 （两边各自正交对角化到同一个 ，再取 ）——这个构造在下面 1000 强化 9-14 里用到。

1000 基础第 6 章 13

原题

设矩阵 ，向量 ，若齐次线性方程组 的解空间的维数为 1．

（1）求常数 的值及非齐次线性方程组 的解； （2）求一个正交变换 ，将二次型 化为标准形，并写出该标准形．

解析

（1） 解空间维数 1 ：， 或 。回代筛选： 时 ，，解空间维数 2 ✗； 时

三行之和为零、前两行无关， ✓。故 ，。

解 ：

由 、：

任意

（2） ，（，故 单重）。二阶主子式之和

特征向量
（行和为 0）

（三者两两正交 ✓）

行和相同的矩阵， 是现成的特征向量

每行之和为 ，所以 ， 恒是特征值。本题 使它变成 ——这正是 的来源，也直接给出了 这个特征向量。

反过来看第（1）问： 的两个根 与 ，一个来自”行和为零”（），一个来自”三行全相同”（），结构不同，秩自然不同，所以必须回代筛选。

1000 基础第 6 章 20

原题

设 3 维列向量 ，矩阵 ．

（1）求 的特征值与全部特征向量； （2）求方程组 （ 为常数）的通解； （3）求一个正交变换 ，将二次型 化为标准形．

解析

（3 阶全 1 阵），。

（1） 秩 1 阵的谱：（一重），（二重）。

  • ：，全部特征向量为 ，；
  • ：，即 ，全部特征向量为
不同时为零

（2） 的特征值是 ，特征向量与 相同。分三种情形：

的通解
且 3只有零解
1
2

（3） 取 ； 的两个向量 不正交（内积 ），须施密特：

另解（第 3 问一行）

其中 正是 的第一列所对应的新坐标。标准形不用求特征值就能写出， 只是把 补成正交基而已。

第（2）问必须讨论

“求 的通解”里 是任意常数，不讨论就默认它使矩阵奇异，是本题最常见的丢分点。判据很清楚： 是不是 的特征值——是则有非零解，否则只有零解。

1000 强化第 9 章 14

原题

二次型 经正交变换 化为二次型 ．

（1）求 的值； （2）求正交矩阵 ．

解析

（1） 正交变换 中 ，所以 ，谱必须相同：

谱谱

（2） 标准做法是两段接力：把 各自正交对角化到同一个 ，

的特征向量 的特征向量

验证（比接力更快的一条路）

就是 ，代入：另解（凑变量，选择填空首选）

直接盯着两个式子找对应： 里的 要变成 里的 ， 要变成 。令，系数阵恰是上面的 ——每列一个 、每行一个 ，自动正交。代入即得 。这条路把两问一起解决了。

与第14章的 是同一个"两段接力"

第14章求” 使 “时用的是 。本章因为要求正交， 变成 ，式子的形状和推导逻辑一字不改。见 第14章 相似的判定与不变量。

差别只在结论的读法：那里得到的是 ，这里同时还得到 （合同）——正交变换一箭双雕。

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