考研笔记

向量空间、正交化与标准正交基

🏠 第12章概念导航 · 向量题库

方法模板

求子空间的基:先定维数,再找向量。，一个线性约束降一维。基里的向量个数必须恰好等于维数——选择题里”给了三个向量”而维数是 的选项可以直接划掉,不用验算。

基就取一个极大线性无关组。

Schmidt 正交化(逐个减投影)

即” 减去它在前面已经正交化好的那些方向上的投影”。

系数分子用原向量分母用新向量

分子分母配错是本节最高频的错误。做完立刻算一次内积验正交,两秒钟。

单位化得规范(标准)正交基:。

实用技巧:每步算完 后先约掉公分母再继续——正交性不受非零倍数影响,但能让后面的内积干净很多。

解空间的标准正交基:先由 定维数,从给定的解向量中挑出恰好那么多个无关的当基础解系,再 Schmidt 正交化并单位化。题目给的解向量常常多于维数,多出来的必然是前面的组合,要先筛掉。

必考

1000题强化篇第6章 8

原题

设向量空间 满足 ,,,则 的一个基为（ ）。

A. 　B.

C. 　D.

解析

第一步:定维数。 一个方程()作用在 上:，基必须恰有 2 个向量,A、C 直接出局(给了 3 个)。

第二步:验剩下两个的向量是否真在 里(分量之和为零):

  • B: 之和 ✓; 之和 ✗ 第二个根本不在 中。
  • D: 之和 ✓; 之和 ✓;两者不成比例,线性无关 ✓

两步筛完,不用解方程组:先数个数(维数),再验归属(代入约束),最后看无关性。A、C 里那个 分量和为 ,连 都不属于——出题人把”个数错”和”归属错”两个错法都放进了选项。

1000题强化篇第6章 9

原题

向量空间 的一个基为 ____。

解析

约束 ,一个方程,故 。

取自由未知量写通解: 自由,

是的一组基

(两者显然线性无关,个数 ✓)。

"写通解 → 按自由未知量拆开"是求基的通法

每个自由未知量提出一个基向量,提出来的向量组自动线性无关(因为每个在对应自由分量上取 、其余取 )。基不唯一,例如 也是一组基,只要个数对、都在 里、且无关即可。

1000题基础篇第3章 13

原题

设 ,记 ,,,若 为正交向量组,则 依次为（ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

题目给的正是 Schmidt 正交化的形式,三个系数依次是三个投影系数。，:

:

:

分子用 ,不是 ;分母用 ,不是

四个选项恰好覆盖了三个系数的各种符号搭配——只要有一个投影系数的分子分母配错,就会落进 A、B、C 之一。写公式时先把”分子 、分母 “写在草稿纸最上面。

验算: ✓。算完必验一次正交,这是最便宜的查错手段。

880 第12章基础解答 10

原题

设矩阵 的秩为 , 是方程组 的解向量,求 的解空间的一组标准正交基。

解析

第一步:定维数,筛出基础解系。，而题目给了 3 个解向量,必有一个是多余的。找关系:设 ,由前两个分量

核对后两个分量: ✓, ✓。故， 不成比例、线性无关,恰是一组基础解系。

第二步:Schmidt 正交化。

约掉公分母(乘 ,不影响正交性):，验正交: ✓

第三步:单位化。

给的解向量比维数多,是这类题的固定设计

先算 ,再从给定向量里筛出恰好那么多个无关的。多出来的必然是前面的线性组合——如果筛出来的个数对不上维数,说明前面某步算错了,这是一个免费的自检点。

拓展

1000题强化篇第6章 11

原题

由向量 生成的向量空间

则 的一个规范正交基为 ____。

解析

第一步:定维数。 一眼看出，故 ,,且 。

第二步:Schmidt 正交化。

验正交: ✓

第三步:单位化。

答案不唯一:任何由这两个向量经正交变换得到的组都可以,例如 、 同样是规范正交基。判分只看”两个、互相正交、都是单位向量、都落在 里”这四条。

先降维再正交化,不要三个一起做

若不先发现 而对三个向量硬做 Schmidt,第三步会得到 ——零向量不能单位化,只能作废重来。“生成空间求正交基”第一步永远是求秩。

链接

反向链接