向量空间、维数与 Schmidt 正交化
🏠 第12章概念导航
核心问题
给一个子空间(用约束式或生成元描述),要求它的一组基,进一步要求标准正交基。这两步各有一个固定算法,难点分别在”定维数”和”配对分子分母”。
核心定义 / 定理 / 结论
维数公式(第一步永远是它)
一个独立的线性约束降一维;生成型的维数就是生成元的秩。基里的向量个数必须恰好等于维数——选择题里个数不对的选项可以直接划掉。
求基的两条路
- 约束型:写通解,按自由未知量拆开,每个自由未知量提出一个基向量。这样得到的组自动线性无关。
- 生成型:先求秩,取一个极大无关组。多余的生成元必须先筛掉。
Schmidt 正交化(逐个减投影)
配错分子分母是本节头号错误。每算完一个
单位化得规范(标准)正交基:
实用技巧:每步算完先约掉公分母再继续——正交性不受非零倍数影响,能让后面的内积干净很多。
解空间的标准正交基:先由
正交向量组的性质:非零正交向量组必线性无关(用内积逐个击破即可证)。所以正交化过程中若某步得到
典型题型
- 由约束式求子空间的基(选择题:先数个数)
- 由生成元求基与规范正交基(先求秩)
- Schmidt 正交化求投影系数
- 求
解空间的标准正交基 - 判断给定向量组是否构成某子空间的基
图示 / 直觉
维数公式的直觉:
Schmidt 的直觉:
分母是
若
常见误用
- 分子分母配错:写成
或 。选择题的错项正是按这些错法造的。 - 基向量个数与维数不符。多一个必相关,少一个张不满。
- 生成型不先求秩就正交化。会在某一步得到零向量,零向量不能单位化,只能作废重来。
- 解空间题不筛基础解系。题目给的解向量个数常大于
。 - 忘记单位化。“正交基”与”规范(标准)正交基”差一步。
- 约掉公分母时改了方向。乘负数会翻转向量,虽不影响正交性与单位化后的合法性,但要在答案里保持一致。
与旧知识的连接
就是秩–零化度定理,第 13 章基础解系的向量个数用的是同一条。 - 求基的”写通解按自由未知量拆开”正是第 13 章求基础解系的标准流程,本章先在子空间语言下用了一遍。
- 极大无关组的求法见 极大无关组、秩与满秩分解。
- 第 14 章实对称矩阵的正交对角化要求把每个特征子空间的基先 Schmidt 正交化,再拼成正交矩阵,见 实对称矩阵的正交主轴。本节是那里的前置技能。