考研笔记

瑞利商与二次型的界

🏠 第15章概念导航

核心问题

在单位球面上，二次型能取到多大、多小？为什么答案恰好是最大、最小特征值？ 这条结论怎样变形成各种题面？

核心定义 / 定理 / 结论

瑞利商与夹逼定理

设 为 阶实对称阵，特征值 。瑞利商满足

两端都能取到，取到时 是相应特征值的特征向量。

两行证明

取正交变换 ，则 ，是 的一个加权平均（权 ，和为 1），当然落在最小与最大之间；把全部权重压到某个 （取 ）即取到端点。

这条证明的关键是 正交——只有正交变换才保住分母 。

在特征向量处取值

题面翻译表

题面翻译
时 的最大值
的最小 （谱半径）
全部 与 都正定
（ 正定） 的最大特征值（广义瑞利商）

的标准拆法

同时正定

严格不等号 正定（开区间）； 半正定（闭区间）

端点的开闭完全由题面上那一笔决定。

广义瑞利商的两条路

  • 要过程/要最值点：把 拆成 ，换元 让分母变成 ，转成普通瑞利商；
  • 只要那个数：直接求 的最大特征值。

两者一致，因为 与 相似。

最值点：不唯一

是 重时，最大值点是整个特征子空间与单位球面的交（ 时是一个 维球面）。题目常加""之类的条件来定位唯一一点：先写出特征子空间的一般元素，再联立单位化条件与附加条件。

求最值点不需要施密特正交化——正交基只有化标准形才用得上。

典型题型

  • 单位球面上求二次型的最值与最值点；
  • 分式 或 的最值；
  • 由""定参数范围（转成 双正定）；
  • 由""求最小 （谱半径）；
  • 分块对角阵的规范形（惯性指数可加）。

图示 / 直觉

只依赖 的方向（），所以它其实是定义在单位球面上的一个函数。

  • 在主轴方向 上，（球面上的临界点）；
  • 在其他方向上， 是这些临界值的加权平均；
  • 走遍整个球面， 连续地扫过区间 。

等价的椭球图像： 的椭球，半轴长度是 。最短的半轴对应最大的特征值——“最难推出去的方向”正是 增长最快的方向。

常见误用

用非正交变换去化简瑞利商

一般可逆变换会改变分母 ，加权平均的论证就断了。必须用正交变换。

对不对称的矩阵套瑞利商定理

定理前提是 实对称。 实际等于 （），先对称化再谈最值。

最小的 取成 而不是

谱是 时答案是 10，来自 。

把差、和分开估计

求 的界时，先合并成 再求那一个矩阵的谱；分别估计两项相加会得到不紧的界。合并合法的前提是 与 共用特征向量。

最值点答成一个而漏掉附加条件

重根时最值点有无穷多个，题目给的""必须用完。

与旧知识的连接

  • 第14章：谱、正交对角化、” 与 共用特征向量”；
  • 第12章：柯西—施瓦茨不等式——秩 1 型 的最值可以直接用它秒杀，；
  • 高数：在 上求 的条件极值，拉格朗日方程恰是 ——特征值就是拉格朗日乘数，这是两门课最漂亮的一处呼应。

题型训练

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