考研笔记

多项式、逆与伴随的特征值转移

🏠 第14章概念导航

核心问题

已知 的谱,能不能直接写出 、、、、、 的谱?哪些运算保持特征向量不变,哪些会动它?

反过来:题目给一个矩阵等式(如 ),能读出关于特征值的什么信息?

核心定义 / 定理 / 结论

转移表(整章使用频率最高的一张表)

设 ,。

矩阵特征值特征向量附注
不变
不变
(多项式)不变最常用
不变需 可逆
不变需 可逆
不变
(不变)相似
(不变)一般完全不同不是相似变换给出的

证明模板(以 为例): 。逐项叠加即可。

表里只有最后两行动特征向量,而且动法相反

的特征向量是 ; 的特征向量必须重新解。

零化多项式定理

若 ,则 的每个特征值都满足 。

证明: ,左边为 ,,故 。

单向! 的根未必是特征值

只说明 ,不保证两个都出现( 时只有 1)。要定重数,还得看秩。

无重根判据

若存在无重根的多项式 使 ,则 可对角化。

常用实例:

条件零化多项式特征值结论
(幂等 / 投影)必可对角化;;
(对合)必可对角化;
必可对角化
(幂零)(有重根)全为 0一般不可对角化;可对角化

反用:由谱构造矩阵等式

若 可对角化,且每个特征值都满足 ,则 。

例:特征值全是 且可对角化 ;特征值全是 且可对角化 。

"可对角化"这个前提不能省

幂零阵的特征值全是 0(满足 ),但 。从谱回到矩阵,必须经过对角化这座桥。

求 的三步

  1. 确认 可对角化;
  2. ;
  3. 数非零的 个数。

典型题型

  1. 顺着转移表走:” 是 的特征值,求 的一个特征值” —— 每步只动那个数。
  2. 由矩阵等式读谱:(唯一)。
  3. 实对称 + 零化多项式:复根被”实”筛掉、重根被”可对角化”筛掉,常常直接逼出 。
  4. 求 或 :平移到对角阵上读。
  5. 题目给 :用 定 ,再用 换算,全程不反解 。

图示 / 直觉

在特征基下, 就是一台”每个坐标轴各自缩放 倍”的机器。于是:

  • 做 ,就是每根轴缩放两次 ;
  • 做 ,就是每根轴反着缩放 ;
  • 做 ,就是对每根轴的缩放倍数施加同一个函数 。

轴的位置(特征向量)自始至终没动,动的只是每根轴上的刻度。这就是”多项式与逆不改变特征向量”的全部内容。

是唯一的例外:转置换的是”行与列的角色”,几何上对应对偶空间,轴的位置会变,但刻度不变。

常见误用

  1. 由 反推” 的每个根都是特征值” —— 单向定理,反向不成立。
  2. 由”特征值全是 0”推 —— 需要可对角化。幂零阵是反例。
  3. 算 的特征值时漏乘 —— ,不是 。
  4. 不可逆时仍用 —— 此时要改用秩三分法 + 迹: 时 的特征值是 。
  5. 由 的特征值直接说秩 —— 必须先确认 可对角化。
  6. 相似变换的特征向量写成 —— 是 。

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