考研笔记

相似不变量与相似的完整判据

🏠 第14章概念导航

核心问题

两个矩阵”长得不一样”,什么时候其实是同一个线性变换在不同基下的两张脸?哪些量能用来区分它们,哪些量区分不了?

核心定义 / 定理 / 结论

定义

若存在可逆矩阵 使 ,称 与 相似,记 。

相似是等价关系(自反、对称、传递),所以可以谈”相似类”。

几何含义: 与 是同一个线性变换在两组不同基下的矩阵, 是过渡矩阵。

相似不变量清单(判”不相似”用它)

不变量备注
特征多项式 从而全部特征值(含重数)相同
最快用的一个
从而同时可逆或同时不可逆
对任意 ,比”秩相同”强得多
是否可对角化相似类的共同属性
各阶主子式之和 特征多项式的系数

全是必要条件

特征值完全相同的两个矩阵可以不相似 —— 经典对照: 与 谱都是 ,前者可对角化后者不能。

判”相似”的三条路

  1. 两边都可对角化 + 特征值相同 相似(经由同一个 中转)。考研 95% 的情形。
  2. 三阶、特征值全同:再逐个比 与 ,全相等则相似。
  3. 直接构造 : 逐列比对。

求 使 的两种情形

情形甲( 已是对角阵): 就是 的特征向量矩阵。

情形乙( 非对角但两边都可对角化): 分别对角化再拼接,

两个 必须写成同一个(特征值顺序对齐)。求出的 可整体乘任意非零常数(相似变换里抵消),用来清分母,永远合法。

情形丙(两边都不可对角化): 只能把 展开成列方程组逐列解,见 Jordan 链与广义特征向量。

验算永远用 ,不要求

逐列比对即可,每列一次矩阵—向量乘法。这是相似类题目最经济的复核方式。

运算对相似的继承

设 。

运算保相似?理由 / 反例
、✔同一个
、✔用
✔转置等式,用
✔
✔( 或 可逆)
✘ 用 , 用 ,没有统一的
( 非数量阵)✘ 对 无效

一句话判据:能只用 本身(加、乘、逆、数乘、)写出的表达式,一律保相似;掺进转置又做加法,立刻警惕。

与”等价”的对比

关系定义判据
等价 可逆,同型且 —— 仅此而已
相似,谱相同 + 各重特征值秩相同
合同,( 对称)正、负惯性指数分别相同(第15章)

层级:相似 等价(取 );正交相似 既相似又合同(此时 )。

与

  • 特征值总相同(含 0),对任意方阵 ;
  • 相似只在 或 可逆时保证。反例:、,,秩不同。

与

任意方阵都与它的转置相似,而且可以取对称的过渡矩阵:可对角化时 即满足 。

典型题型

  1. “必有”型选择:四个选项按强度排序,最弱的往往是答案。
  2. 多结论计数( 推出几条):逐条用”继承表”。
  3. 比较 :把 换成给定的具体矩阵,平移后数非零特征值。
  4. 四选一”与某矩阵相似的是”:先对谱(迹、秩),再对重特征值的秩。
  5. 含参 求参数:迹 + 行列式 + 秩,三个方程按需取用。
  6. 求 使 :走 。
  7. “等价 vs 相似”对照:一个要求降秩,一个要求对齐谱,方向相反。

图示 / 直觉

相似 = 换一副坐标眼镜看同一个动作。

换回新基在旧基下做动作把新基坐标翻成旧基

读法:先把新基下的坐标翻译成旧基(),在旧基下执行变换(),再翻译回新基()。动作没变,只是记账的方式变了。

于是”相似不变量”就是不依赖于记账方式的内在属性:拉伸倍数(特征值)、体积缩放率(行列式)、压扁的程度()。而” 的第 元素”这种东西完全依赖坐标,当然不是不变量。

常见误用

  1. “特征值相同 相似” —— 本章第一号错误。
  2. ” 有相同的特征向量” —— 特征向量差一个 。
  3. 时忘了先说明 —— 两个常数因子合并不掉。
  4. (顺序反) —— 应是 。记法:“先按 的向量过去,再按 的退回来”。
  5. 两个 的特征值顺序没对齐 —— 拼出来的 完全错,而且事前发现不了。
  6. 把非对称矩阵拿去谈”合同” —— 合同的语境是实对称矩阵(二次型)。
  7. 认为 —— 唯一不保相似的常见运算。

与旧知识的连接

题型训练

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