基、坐标与过渡矩阵

核心问题

换一组基,同一个向量的坐标怎么变?基向前变、坐标向后变——这句话背后是两条方向相反的公式,记反了整题皆错。

设与是同一空间的两组基。

过渡矩阵( 到的过渡矩阵 ):

的第列在基下的坐标。 三个要点:新基在左、旧基在右、系数竖排成列。

必可逆(两组都是基),且到的过渡矩阵是。

坐标变换:同一向量的两组坐标 (对 )、(对 )满足

基 用 从 变 到 坐 标 用 从 变 回

判断方向的办法: 的列是新基在旧基下的坐标,所以吃进新坐标、吐出旧坐标。 拿不准时代一个最简单的例子(,)验一下。

计算的两种情形

动手前先扫一眼: 常常是的简单组合(如 ),看出来就直接写 ,省一整页消元。

两个高频变体

基的判定: 个维向量成基无关行列式非零。子空间的基要先定维数,基向量个数必须恰好等于维数。

坐标是”向量在某组尺子下的读数”。同一支箭头,换把尺子读数就变。

为什么基与坐标反向变换:把基向量拉长一倍,同一个向量的读数就要减半。基”变大”,坐标”变小”——这就是与的方向差异。

为什么的列是新基的旧坐标:要描述新尺子,只能用旧尺子去量它。是被量的对象,量出来的读数自然按排成第列。

前缀和与差分: 对应的是全上三角(前缀和),它的逆是双对角的差分矩阵——与和互逆完全同构。看到全上三角直接写出差分逆,不必消元。