考研笔记

基、坐标与过渡矩阵

🏠 第12章概念导航 · 向量题库

方法模板

两条定义式,方向千万别记反。

设 与 是同一空间的两组基。

过渡矩阵( 到 的过渡矩阵 ):

的第 列 在基 下的坐标。新基写在左边、旧基写在右边、系数竖排成列——三句话缺一不可。

坐标变换:同一个向量 在两组基下的坐标 (对 )与 (对 )满足

注意方向是”反”的:基从 换到 用 右乘基,而坐标从 变回 也是用 左乘。“基与坐标反向变换”是本题型唯一需要死记的一句话。

计算 的两种情形

  • 具体向量:。实操上不求逆,直接对 做初等行变换化成 。
  • 抽象基(用 的组合给出):直接按定义把系数竖排,不必解方程。

两个高频变体

  1. 在两组基下坐标相同的向量:要求 ,即解齐次方程组 ,再取 。
  2. 给坐标变换公式反求过渡矩阵:公式 里的 就是 (对照 )。再由 求出各 。

基的判定: 个 维向量构成基 它们线性无关 行列式非零。求某个子空间 的基时,先定维数( 独立约束个数),基里的向量个数必须恰好等于它——这一步能秒杀一半选择题。

必考

880 第12章基础填空 2

原题

已知 3 维线性空间的一组基为 ,,,则向量 在上述基下的坐标为 ____。

解析

坐标就是表示系数。解 :

由后两式 、,代入第一式得 ,故

回验: ✓

每行之和相同时用"全加"

三个方程相加得 ,即 ;再用每个方程一减就直接得到 、、。这类”两两配对”的对称方程组,先求各变量之和最快。

880 第12章基础填空 3

原题

设 3 维向量空间的两组基分别为

则从 到 的过渡矩阵为 ____。

解析

由定义 得 。不求逆,对 行变换到 :

逐列回验( 的第 列应等于 ):

结构一眼看穿:、、。看出这个关系就不必消元,直接把系数竖排即得 。做题时先扫一眼 是不是 的简单组合,能省一整页计算。

880 第12章综合解答 8

原题

设 与 是 3 维向量空间的两组基,若向量 在这两组基下的坐标分别为 与 ,且，

（Ⅰ）求由基 到基 的过渡矩阵;

（Ⅱ）若 ,求 。

解析

（Ⅰ） 把坐标关系写成矩阵形式:

即

对照坐标变换公式 ,立即读出

（Ⅱ） 由 ,按列读 :

与上一题是一对互逆的题

880 基础填空 3 给两组基求 ,本题给 (以坐标变换的形式)求第二组基——数据完全相同。两题对照着做,能把” 与 “这对关系彻底钉死。

别把 写成

判断方法: 的列是新基在旧基下的坐标,所以 作用的对象应该是新坐标 ,输出的是旧坐标 。“基向前用 ,坐标向后用 “,如果一时拿不准,就代一个最简单的例子(,)试一下。

1000题强化篇第6章 10

原题

设 是 3 维向量空间 的一个基,则基 到基 的过渡矩阵为（ ）。

A. 　B.

C. 　D.

解析

抽象基不必解方程,按定义竖排即可。 记旧基，把每个新基向量用 表示(注意要除以系数):

第列 第列 第列

两个辨别点:① 系数必须竖排成列(选项 C、D 是把它横排后的转置类变形);② 要写成 、 写成 ,分母来自旧基自带的倍数——选项 A 就是忘了除、反而乘上去的产物。

拓展

880 第12章综合填空 3

原题

设 与 是 的两组基,则在两组基下有相同坐标的向量为 ____。

解析

设该向量在两组基下的公共坐标为 ,则，其中 、。

解 :注意第三行 第一行,直接约掉:

取 :由第一行 ;由第二行 。故，代回任一组基:

为任意常数

用第二组基交叉验算:

"坐标相同"就是

这一步是全题的转化点。之后就是一个普通的齐次方程组,必然有非零解吗? 不一定——只有当 时才有。本题 的第三行是第一行的 倍,秩为 ,所以解空间是 维,答案带一个任意常数。若 ,答案就只有零向量。

880 第12章拓展解答

原题

设 为 维向量空间 的一组基,且

（Ⅰ）证明: 也是 的一组基,并写出由 到 的过渡矩阵 ; （Ⅱ）设向量 , 在基 下的坐标为 ,求 在基 下的坐标。

解析

（Ⅰ） 按定义竖排系数: 的坐标是”前 个分量为 、其余为 “,作为 的第 列,故

上三角主对角及以上全为

, 可逆,故 也是一组基。

（Ⅱ） 记 为 在旧基下的坐标,所求 满足， 是双对角矩阵(主对角 、上次对角 ):

于是 、。代入 :

直接验算(不经过 ):

坐标正是 ✓ 与所求的 全为 完全吻合。

不用硬算

“前缀和”矩阵 的逆就是”差分”矩阵——这与 和 互逆是同一件事。看到 是全 上三角,直接写出双对角的 ,比做初等行变换快得多。这个矩阵对在第 13、14 章还会以别的面貌出现。

链接

反向链接