考研笔记

抽象行列式:列向量拆分与过渡矩阵

🏠 第10章概念导航 · 行列式题库

方法模板

矩阵以列向量组形式给出()时,行列式有两条主干工具:

一、列多重线性(只对一列拆)

关键边界:一次只能拆一列,其余列必须原封不动。因此除非只有一列不同，这正是考点:题目会把 造成”只差一列”,让 可拆。判断标准—— 的每一列都要能整理成”公共列的倍数”,只有一列例外。

提公因子时注意 ( 是阶数),不是 。

二、过渡矩阵(把线性组合写成右乘)

若新列组的每一列都是原列组的线性组合,就把系数竖着排成矩阵 :

的第列在下的坐标

于是 。同样,条件""意味着 (),当 线性无关时 可逆,,于是与相似特征值、迹、秩全都一样，系数竖排还是横排,是这一类题唯一容易出错的地方: 的系数写成 的第 列。写成行就变成了 ,虽然行列式碰巧相同,但一旦题目继续问特征向量就会全错,所以从一开始就按列写。

必考

880 第10章基础选择 2

原题

设 均是 4 维列向量,且

则 （ ）。

A. 15　　B. 16　　C. 31　　D. 32

解析

先把 的列还原成公共列的倍数:,所以，后三列各提公因子(),第一列再按多重线性拆开:

第一项已知为 。第二项由 反推:

两个高频错法

① 直接写 ——列不止一列不同,不能这么拆。 ② 提公因子时写成 ,把三列的公因子当成一个。每一列的公因子都要单独提。

880 第10章基础填空 11

原题

设 3 阶方阵 ,

且 ,则 ____。

解析

把每个新列在 下的坐标竖着写成 的列:

按第 3 行展开:。

由 得 ,故 。

第二列写的是

题面把 写在前面,坐标仍按 的顺序填,即 。填坐标时永远按基的固定顺序,不要跟着题面的书写顺序走。

880 第10章综合填空 4

原题

设 是 3 阶方阵, 线性无关,且

则 ____。

解析

记 ,三个条件合起来就是

( 的第 列是 的坐标:,依此类推)。

线性无关 可逆 ,故

顺带记住: 与 相似,所以 、、特征值也相同。这类题后面常会追问特征值,一次把相似关系写清楚就能连着答。

1000题基础篇第1章 11

原题

设 是 3 阶矩阵, 是 3 维线性无关列向量,且满足

则 ____。

解析

同上,坐标竖排:

检查手段: 的每列元素之和都是 ,故 是 (从而也是 )的一个特征值。,所以另外两个特征值之和为 ; 给出另两个特征值之积 ,即它们是 。特征值 之积正好 ,自洽。抽象行列式算完能这样交叉验一次最稳。

1000题强化篇第1章 4

原题

设 , 为线性无关的 3 维列向量, 为 3 阶矩阵,且 ,则 （ ）。

A. 6　　B. 　　C. 24　　D.

解析

题干还原

OCR 原文把列向量写成小写 且与矩阵 的记号混用。按线性代数惯例统一记为 ,不影响题意。

,其中 。 线性无关 可逆,故，即 相似于 ,特征值为 。

相似关系可以整体平移:,故 的特征值是 ,

不能写成

、,相减得 ,不在选项里——出题人连这个错项都懒得放。行列式对加减没有可分配性,必须走特征值(或先求出 本身)。

拓展

880 第10章综合填空 5

原题

设 均为 4 维列向量,

且 ,则 ____。

解析

逆矩阵的和先提公因式,把它化成”和”再取行列式:

而 只有第一列不同,:

要背

同类变形还有 、。看到”逆的和”就往中间凑出一个普通的和,这是抽象行列式最常用的一招,下一个题型里还会用到。

1000题基础篇第1章 1

原题

设 是方程 的三个不同的根,则行列式

的值等于（ ）。

A. 1　　B. 0　　C. 　　D.

解析

三阶循环行列式,直接展开:

用恒等式 ,得，由韦达定理, 的三根之和 (二次项系数为 ),故

另解(更快): 意味着把第 2、3 行加到第 1 行后,第 1 行变成 ,行列式直接为 。“各列(行)之和相同”永远先想行加行,和 结构型数值行列式 里的第一条模板是同一招。

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