初等行变换为什么保持对应列的线性相关性

它解决什么问题

结论是：

初 等 行 变 换 和 的 任 意 对 应 部 分 列 向 量 组 具 有 相 同 线 性 相 关 性 。

这里的关键词是“对应”：取的第列，就和的第列比较。

初等行变换等价于左乘可逆矩阵：，若

则每一列满足，也就是说，行变换不是单独修改某一列，而是对所有列向量同时做同一个可逆线性变换。

若中对应部分列线性相关，即存在不全为零的使，左乘得，也就是，所以中对应部分列也线性相关。

反过来，如果中对应部分列线性相关，利用可逆，也能推出中对应部分列线性相关。

因此：

线 性 相 关 线 性 相 关

可逆线性变换不会把真正独立的方向压没，也不会凭空制造一个线性关系。

所以初等行变换会改变列向量本身，甚至会改变它们张成的具体空间位置，但不会改变“这些列之间有没有冗余”。