考研笔记

秩的恒等式与 的结构

🏠 第11章概念导航

核心问题

秩是矩阵最重要的单一数字:它同时刻画”独立的行有几条""独立的列有几条""像空间是几维""方程组有几个自由变量”。这一节把考试真正用得上的几条秩公式和 的三层含义钉死。

核心定义 / 定理 / 结论

基本不等式

为为

不变性: 可逆时 。更弱的版本更常用——右乘行满秩、左乘列满秩都不降秩。

实矩阵专属:。推论:。“实”字不能丢,复矩阵有反例 。

的三层含义

  1. 秩:( 是 的列数 的行数)。
  2. 列: 的每一列都是 的解,即 。这一层解释了第 1 层——。
  3. 可逆: 可逆 ;反过来 。

“求参数”的标准套路

给 、、,要定参数 :

  1. 由 (或 )解出候选 ;
  2. 对每个候选分别算秩,看哪个能把另一方的秩唯一确定。

答案永远落在使已知矩阵秩最大的那个候选上——秩越大,留给对方的区间越窄。若某候选下 ,则 不唯一,那个候选必被排除。

伴随秩三段式

反读:;。

两边夹型恒等式

推法都一样:一边用 给上界,另一边用 给下界。会这个推法就不用背结论。

特例:,即 。

降秩信号: 在特征值 处有长度 的 Jordan 链,也就是不可对角化。第 14 章会正式处理。

典型题型

  • 由 、 等条件判断 与 的取值组合
  • + 若干”非零”条件,夹出
  • 含参矩阵满足 ,定参数并确定秩
  • 由 反推 ,或反之
  • 求参数

图示 / 直觉

把 看成线性映射。 是像空间 的维数, 是零空间 的维数(秩–零化度定理)。

的意思是: 先把空间打到某个子空间里, 再把那个子空间整个压成零。 所以 必须整个躺在 里面,维数上就有， 压得越狠( 越大, 越小),留给 的活动空间越窄——这正是”答案落在秩最大的候选上”的几何原因。

同理,幂等阵 是一个投影:空间被劈成”投影后不动的部分”()与”被打成零的部分”(),二者直和填满全空间,维数相加恰为 ,而 ,于是 。

常见误用

  • 由 的根直接定重数。 只说明特征值在 中,几个 要靠 来定。
  • 或 。前者纯属杜撰,后者只是上界。
  • 忘记 Sylvester 的下界。只用 往往夹不出唯一值。
  • 推出 或 。反例:。
  • 秩三段式用错阶数。 才给 ; 时 ,要单独当心。
  • 在复矩阵上用 。

与旧知识的连接

  • 秩–零化度定理 是第 13 章解的结构的核心,本章的每条秩公式在那里都会重新出现一次。
  • 等于极大线性无关组所含向量个数,这是第 12 章的内容,见 行变换下列相关性的不变性。
  • 把第 10 章的行列式与本章的秩连起来——“由 定候选参数”这一步全靠第 10 章的行列式公式。
  • 作为不可对角化信号,通向第 14 章。

题型训练

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