分块矩阵的秩:消块法

核心问题

给三个分块矩阵比较秩的大小,选项还都长得差不多。不要试图直接看出来——统一用消块法把每个化成分块对角形,秩立刻变成两块之和,比大小就退化成比一个括号里的东西。

两条合法操作(初等变换的分块版本,不改变秩):

分 块 行 变 换 分 块 列 变 换

乘数的位置:行变换写在左,列变换写在右——与”左乘换行、右乘换列”完全一致。

关键抓手:哪里有块,就用它去消谁。

四条母公式(建议直接记)

最后一条的识别信号:上块行恰是下块行的倍,一减就全零,秩只剩。

分块三角只给下界,分块对角才给等号

一般取不到等号(除非能被消掉)。要”恰好等于”,必须先化成分块对角。 选择题里常用这一点区分选项。

没有块时的通法:找”某块另一块某矩阵”的结构。例如同一块行里出现与 ,就做把消成。

排序常用的三条

化完后每个都长成或 ,比大小只看括号内。先扫一眼哪个块能被题设条件直接打成零,那个通常最小。

分块矩阵作用在上得。

第二个分量里的是自由的——不管是什么,总能通过调让第二分量取遍全空间,这就贡献了满满的维。剩下的自由度受限于:要让第二分量为零必须 ,代回第一分量得。于是像空间是维,正是母公式。

一句话: 块保证了维的”白送”,剩下的部分被块所在的行列”挤压”成一个乘积的秩。