考研笔记

分块矩阵的秩与秩不等式

🏠 第11章概念导航 · 矩阵题库

方法模板

这一类题几乎全是选择题:给三个分块矩阵,比较 的大小。不要试图直接看出来,一律用”消块法”把每个化成分块对角形。

消块法的两条合法操作(它们都是初等变换的分块版本,不改变秩):

分块行变换分块列变换

注意乘数的位置:行变换时乘数写在左,列变换时写在右——这与”左乘换行、右乘换列”完全一致。

关键抓手:哪里有 ,就用它去消谁。

同理

第三个式子值得单独记: 的第一块行恰是第二块行的 倍,一减就归零,秩只剩 。看到”上行 下行”立刻判 。

排序时用到的三条不等式

化完之后每个 都长成 的样子,比大小就退化成比括号里那一项。

没有 块怎么办:找”能被别的块整除”的结构。若某块是 、另一块是 ,就用列变换 把 消掉。

必考

1000题强化篇第4章 4

原题

设 为 阶实矩阵,则下列结论不成立的是（ ）。

A. B. C. D.

解析

统一手法:把公因子提到括号外。

A:。 是 且行满秩,右乘行满秩矩阵不降秩,故 ✓

B:同构,,故 ✓

C:。 是 且列满秩,左乘列满秩矩阵不降秩,故该式 。而题目断言它等于 —— 与 一般不相等,✗

D:,故 ;另一方面它含子块 ,而实矩阵有 ,故 。两边夹得 ✓

两条"不降秩"要背

右乘行满秩、左乘列满秩,都不改变秩。 这是本题四个选项共同的骨架。再加上实矩阵的 ,选项 D 才能夹出来。

1000题强化篇第4章 5

原题

已知 为 阶矩阵, 为 阶单位矩阵,记

的秩分别为 ,则（ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

前两个都有 块,套模板 :

:因为 ,而 (行空间与零空间正交互补),所以 作用在 上是单的,。故 。

第三个没有单独的 块,但注意第二块行 第一块行:

于是

识别要点:第三个矩阵是”上行的 倍”这种伪装,看到两块行成倍数关系立刻消,别去硬算。

880 第11章基础选择 5

原题

设 , 是 3 阶矩阵,且 ,, 与 分别是 与 的伴随矩阵,则下列选项中正确的是（ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

第一步:定 与两个秩。 ,说明右乘 降了秩,故 不可逆:

二者成比例

由伴随秩三段式:;。

第二步:逐个判断。 只有分块对角才能保证秩恰好等于两块之和:

  • B: 分块对角, ✓
  • D: 是分块上三角, ✗
  • A、C:只能给出 、,是下界不是等号,不能断定恰为

分块三角只给下界,分块对角才给等号

,一般取不到等号(除非 能被消掉)。要”恰好等于”,必须是分块对角。 这是本题四个选项的全部区别。

880 第11章综合选择 4

原题

设 均为 阶矩阵, 为 阶单位矩阵,矩阵

的秩分别为 ,则下列选项中正确的是（ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

三个都有 块,逐个消:

由 得，即 。

这题是分块秩题型的母题,三个式子 、、 建议直接记住,后面几道都是它的变形。

拓展

1000题强化篇第4章 6

原题

已知 阶矩阵 满足 , 为 阶单位矩阵,记

的秩分别为 ,则（ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

套上一题的母题公式:

由 :

在这里只用了一次——把 压到 。先扫一眼哪个块能被条件直接打成零,那个通常就是最小的。

1000题强化篇第4章 7

原题

设 均为 阶矩阵,,记

的秩分别为 ,则（ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

没有 块,改用”某块是另一块乘 “的结构,统一做列变换 :

比较: 给 ;题设 给 。

没有 时的通法:先扫描”哪两块差一个右乘因子(或左乘因子)“,用一次分块列(行)变换把它消成 ,分块对角就出来了。题设那句 是最后排序的唯一依据,不要漏读。

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