考研笔记

两个方程组的公共解

🏠 第13章概念导航 · 线性方程组题库

方法模板

“公共解”就是两个解集的交集。题目给条件的方式只有两种,对应两条路:

题目给的是用哪条路做法
两个方程组的方程(系数矩阵)联立法把两组方程摞成一个大方程组 ,直接解
一方(或双方)给的是基础解系代入法 / 待定系数法把通解 代入另一组方程,解出 的约束

混合情形(一个给方程、一个给基础解系)就用代入法:把”有解系”的那一方当自变量,代进”有方程”的那一方。

双方都给基础解系时,公共解满足

即求矩阵 的零空间,再把解出来的 代回左边(代回右边也行,可以互相验算)。

三个必查

① 是否存在非零公共解——常常要靠一个行列式为零来卡参数; ② 公共解算完要两边都验(既满足 (I) 又满足 (II)),这是唯一可靠的自查; ③ 题目问”非零公共解”时,答案要写 ,别把 混进去。

维数直觉

两个解空间 ,有

所以 时必有非零公共解,一个字不用算。反过来若维数和恰等于 ,有没有交就取决于那个 行列式是否为零——含参题的参数就卡在这里。

必考

880 第十三章基础解答 3

原题 设有方程组 ① 与 ② 求:

(Ⅰ) 方程组 ① 与 ② 的基础解系;(Ⅱ) 方程组 ① 与 ② 的非零公共解.

解析

(Ⅰ) 各自的基础解系。

方程组 ①: 系数矩阵 ,,。主元列是第 1、2 列,自由变量 。由方程得 ,,而 不出现、完全自由:

方程组 ②: 系数矩阵 ,,,自由变量取 。由第二式 ,代入第一式 :

(Ⅱ) 非零公共解——联立法。 两组方程都给全了,直接摞成一个 4 元方程组:

,。取 :,,。全部非零公共解为，双向验算: 代 ①: ✓, ✓;代 ②: ✓, ✓。

维数预判

,,维数和恰好等于 4,处于”可能有也可能没有”的临界。算出来交集是 1 维,说明 只有 3 维——两个平面在 里”贴”上了一条线。若维数和 则不必算就知道必有非零公共解。

在方程组 ① 里"隐身"

① 的两个方程都不含 ,这不是漏写,而是说明 是完全自由的,基础解系里必须有 这一支。很多人下意识只从”出现过的变量”里挑自由变量,就会把 漏掉,基础解系直接少一个。先按列数 定 ,再找自由列,顺序不能反。

880 第十三章基础解答 4

原题 设有方程组 (Ⅰ) (Ⅱ) ,其中 (Ⅱ) 的基础解系为，求方程组 (Ⅰ) 与 (Ⅱ) 的非零公共解.

解析

(Ⅱ) 只给了基础解系、没给 ,所以必须走代入法:把 (Ⅱ) 的通解当作候选,代入 (Ⅰ) 的方程去筛。

设公共解为，代入 (Ⅰ) 的两个方程:

两个方程给出同一个条件 。记 :

全部非零公共解: ,。

验算: 代 (Ⅰ): ✓, ✓;它显然是 ,自动属于 (Ⅱ) 的解空间 ✓。

代入法的方向要选对

一方给方程、一方给解系时,永远拿”解系”那一方去代”方程”那一方。反过来做(想从解系反推出 )既没必要也做不出—— 根本不唯一。

两个方程给出同一条件是常态,不是算错

这里 出现了两次。原因是 (Ⅰ) 的解空间 2 维、(Ⅱ) 的解空间 2 维,交集 1 维,只需要一个约束就够了。看到重复条件不要慌着回头查算术,数一下维数就明白了: 是下界,实际交集 1 维,所以恰好掉了一个约束。

1000题强化篇 第5章 5

原题 设四元齐次线性方程组 (I) 且四元齐次线性方程组 (II) 的一个基础解系为 ,,若方程组 (I) 与 (II) 没有非零公共解,则 的取值范围为____.

解析

答案 。

同样是”一方给方程、一方给解系”,走代入法。设

代入 (I) 的第一式 :

代入 (I) 的第二式 :

于是关于 的方程组是

分类:

  • :两式化为 与 ,故 ,只有零公共解 ✓;
  • (即 ):两式恒成立,任意 都行,(II) 的整个解空间都是公共解,存在非零公共解 ✗。

故所求范围为 。

回头看 时的含义: 此时 , 都满足 (I) 的两个方程(读者可代入验证),而 (I) 的解空间也是 维,所以两个解空间完全重合——不是”擦了一下”,是彻底同解。

先算系数,再讨论

本题的正确姿势是把 的系数当成关于 的表达式先整理干净,发现两式的系数里都提得出 ,结论就自己跳出来了。若一上来就对 分类讨论,要试无穷多个值。

别忘了 本身要无关

题目说它们是 (II) 的基础解系,已经默认无关了,所以 确实等价于 。如果题目只说”是 (II) 的两个解”,就还得先验一次无关性,否则 不能推出唯一性。

1000题强化篇 第5章 6(2)

原题 已知 均是 矩阵, 的基础解系是 ,, 的基础解系是 ,.

如果 和 有非零公共解,求 的值及所有非零公共解.

解析

答案 ,全部非零公共解为 。

双方都只给了基础解系,这是第三种情形:公共解要同时写成两组的组合,，移项得 ,也就是求

的零空间。

第一步:存在非零公共解 。(因为 组、 组各自无关, 有非零零向量当且仅当四列相关。)

。

第二步: 时求出公共解。 继续把上面的阶梯形化完(此时 ):

,零空间 1 维。取 :;;。

第三步:两边各算一遍,互相验算。

两边一致,结论可靠。全部非零公共解为 ,。

这题的自查机制是白送的

双解系型的公共解天然有两条独立算路(左边用 、右边用 )。算完一定两边都代一次,对上了基本不可能错。这比重算一遍要快,也更可靠。

符号别翻车

移项时 那两列前面带的是负号,所以 的零向量第三、四个分量是 而不是 。若你把 写成 就直接读出 ;两种写法都行,但必须自己心里清楚读出来的是哪个。上面第三步的双向验算正好能抓住这种符号错。

为什么 就是充要条件

,,维数和恰为 ,正处在临界。 四列相关 。这正是方法模板里那个维数公式的具体落地。

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