考研笔记

方程组解的结构

🏠 第13章概念导航

核心问题

的解集长什么样?为什么”特解 + 齐次通解”就穷尽了全部解,不多不少?

核心定义 / 定理 / 结论

解集的形状

齐次 的解集 是 的子空间(含零向量,对加法与数乘封闭),维数的列数，非齐次 相容时,解集是，一个平移过的子空间(仿射子空间),不含零向量,本身不是子空间。

为什么不多不少:

  • 不少:任取解 ,则 ,故 ,即 已被这个集合覆盖;
  • 不多:任取 ,,确实是解。

系数和判据(本章最高频的口算工具)

设 都是 的解,则对任意常数 ,，于是

系数和组合的身份
仍是 的解(可当特解)
是 的解(可当齐次解)
其他是 的解,一般没用

无关解的最大个数

的最大无关解个数 相容的最大无关解个数

多出的这个 1 来自特解:仿射平面比它的方向空间”胖”一维。

通解合法的三个条件

写出 后必须逐项自查:

  1. ( 真是特解,不是齐次解);
  2. 每个 ,且 线性无关;
  3. ,一个不多一个不少。

典型题型

图示 / 直觉

在 里想 的情形:

      Ax=0 的解集              Ax=b 的解集
        ↑ 过原点的直线            ↑ 平行的、不过原点的直线
        |                        |
   -----O-----→            -----+-----→   (O 是原点,+ 是特解 η)
        |                   ↗   |
                          η

齐次解集给”方向”,特解给”位置”。 换一个特解只是沿同一条直线滑动一下,解集本身不变——这正是”特解可以任选一个”的原因。

系数和判据的直觉:把 看成线性映射,若干个解的加权平均仍落在原像上,当且仅当权重之和为 1(像加权平均一样”重心不跑”)。

常见误用

把齐次解当特解

的系数和是 0,它是齐次解; 的系数和是 1,才是特解。通解的”尾巴”必须系数和为 1。

只验"是解"不验"无关"

确实是齐次解,但它和已有的 未必线性无关。凡是”临时凑出来”的解,无关性必须单独验;只有按行最简形标准流程做出的基础解系才自动无关。

是列数不是行数

是 时,。行数只影响相容性,不进这个公式。

非齐次解集不是子空间

两个解相加不再是解(系数和变成 2)。所以”解集的基""解集的维数”这种说法对非齐次是错的,只能说”解集是 维仿射子空间”。

与旧知识的连接

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