线性表示就是解方程组

🏠 第12章概念导航

核心问题

” 能否由 线性表示”听起来是向量语言的问题,其实与” 是否有解”逐字对应。认清这个翻译,本章一半的解答题就变成了熟练的消元练习。

核心定义 / 定理 / 结论

主定理(,按列排)

唯一性:表示式唯一 ( 组无关);有无穷多表示 ,自由度为 。

四步流程

1. 组按列排成 , 放到竖线右边;
2. 只做初等行变换化阶梯形,含参时把参数逼到底部;
3. 看有没有形如 、 的行——有就不能表示;
4. 相容时回代写表示式,有自由未知量就带任意常数。

多个 同时处理:并排成 ,一次消元 ,每列右端各读各的。这同时回答了矩阵方程:

的第 列就是 的表示系数。

方阵快捷判断: 为方阵时先算 。

• 恒有唯一解,任何 都能表示。所以题目说”不能表示”时,第一步必是令 解参数。
• 时再回增广矩阵讨论相容性,并且必须验证确实有向量表示不出来(这一步常被漏掉)。

“向量组不能由向量组表示”指的是 组中至少有一个表示不出来:，两组的公共向量(子空间的交):求既可由 又可由 表示的向量,解齐次方程组，再取 。若方程个数 未知数个数,必有非零解——这是存在性证明最便宜的一招。

典型题型

• 含参数的” 能否由 组表示”,求参数并写表示式
• 多个 同时表示 / 矩阵方程 有解的条件
• ” 组不能由 组表示”求参数(先用 )
• 求两个向量组的公共向量
• 证明存在非零向量同时属于两个子空间

图示 / 直觉

张成一个子空间 (即 的列空间)。，于是:

• 表示”添上 后维数涨了”,说明 探出了这个子空间之外;
• ( 方阵)表示列空间就是整个 ,当然装得下任何 ;
• 两组的公共向量 = 两个子空间的交。 里两个 2 维平面必交于至少一条直线,这就是”方程个数少于未知数个数必有非零解”的几何版本:

常见误用

• 把 组按行排。按列排是 ,按行排就变成了完全不同的方程组。
• 做列变换。增广矩阵只能做行变换,列变换会把”哪个系数配哪个 “打乱。
• 后不验证。“存在不能表示的向量”需要真的找出一个不相容的增广矩阵,不能由 直接断言。
• 漏掉参数的分工。含两个参数时,往往一个管”能否表示”、另一个只管”唯一还是无穷多”,做完要回头确认各管什么。
• 自由未知量不写任意常数。 时表示式是一族,答案必须带参数。
• 混淆”向量能表示”与”向量组能表示”。后者只要求有一个表示不出来就叫”不能表示”。

与旧知识的连接

• 有解 的每列都在 的列空间里,与第 11 章 矩阵方程的求解 是同一件事的两种写法;那里强调”系数矩阵是否可逆”,这里强调”秩是否相等”。
• 与 的比较将在第 13 章升级为完整的解的结构理论:有解条件、基础解系、通解。
• “方程个数 未知数个数必有非零解”是第 13 章齐次方程组基本定理的特例。

题型训练

• 线性表示与方程组的转化
• 向量组等价与秩的关系

链接

• 🏠 第12章:向量
• 上一章:矩阵方程:提公因子、消去律与可逆性验证
• 易错清单:向量组的陷阱