考研笔记

线性表示与方程组的转化

🏠 第12章概念导航 · 向量题库

方法模板

一句话:线性表示就是解方程组。

可由表示有解 不能表示

表示式唯一 ( 组无关);无穷多 。

标准流程(四步)

  1. 把 组按列排成 , 放在竖线右边,写出增广矩阵 。
  2. 只做初等行变换化阶梯形。含参数时,让参数集中到底部的一两行。
  3. 比较两个秩:末尾出现形如 且 的行 不能表示。
  4. 相容时回代写出表示式;有自由未知量就带任意常数。

多个 同时表示:把它们并排成矩阵 ,一次处理 ,每一列右端各读各的。这同时也回答了矩阵方程 是否有解——” 能同时由 表示” 与 ” 有解” 是同一句话。

方阵的快捷判断: 为方阵时先算 。

  • 恒有唯一解,任何 都能表示。所以题目说”不能表示”,第一步就是令 解参数。
  • 时再回到增广矩阵讨论相容性。

“向量组不能由向量组表示”指的是: 组里至少有一个不能由 组表示,即，两个组的公共向量:求既可由 又可由 表示的向量,就是解齐次方程组，再取 。它等价于求两个子空间的交。

必考

880 第12章基础解答 1

原题

设向量组

（Ⅰ）求向量组 的秩及其一个极大线性无关组; （Ⅱ）若 不能由 线性表示,求 的取值。

解析

一次把增广矩阵化到底,两问共用:

（Ⅰ）秩与极大无关组。 只看竖线左边。第二行永远含 (第 3 个分量),故 恒独立。

  • :第三行 ,。
    • 若还有 ,主元在第 列,极大无关组为 ;
    • 若 ,第二行变成 ,主元落在第 列,极大无关组为 。
  • :第三行为零,秩为 ,极大无关组为 。

（Ⅱ）不能表示的条件。 不能表示 出现”左边全零、右边非零”的行。

  • 若 ,末行是 且 ,不相容;
  • 若 但 ,第三行变成 ,同样不相容;
  • 若 且 ,两个”坏行”都消失,方程组相容, 能表示。
不能由表示或

一次消元,两问共用

第（Ⅰ）问只读竖线左边的秩,第（Ⅱ）问只读竖线两边的秩差。含参的表示题一律先把增广矩阵化到最简再分情况讨论,不要为两问各算一遍。

880 第12章基础解答 3

原题

设 ,问 为何值时 不能由 线性表示; 为何值时 可由 线性表示,并写出表达式。

解析

末行 是总闸门:

  • :末行非零,不相容 不能表示(与 无关)。
  • :末行归零,第三行变成 ,无论 取何值都相容 能表示。
时不能表示时能表示

表达式():

  • :第三行给 ,回代 、,
  • :第三行整行为零, 自由,、,
任意

验算:,与 时的 一致 ✓。 时 而 ,组内相关,故表示不唯一 ✓

参数 只管唯一性,不管存在性

本题 完全不影响”能不能表示”(闸门在 ),只决定表示式是唯一还是无穷多。做完要回头确认每个参数各自管什么——这是判分点,也是自查手段。

880 第12章综合解答 2

原题

设向量组 不能由向量组 线性表示,求 的值,并将 用 线性表示。

解析

第一步:先用方阵快捷判断定 。

若 , 可逆,任何向量都能由 表示,与题设矛盾。故

验证 确实不能表示(这一步不能省)。此时 (),取 检验:

末行 不相容 ✓ 不能由 表示。

第二步:反向表示。 , 可逆,三个 都有唯一表示。逐个解 :

逐个回验: ✓; ✓; ✓

这题的对称结构值得注意: 组可逆而 组秩为 ,所以” 全能由 表示”而” 不全能由 表示”。两组之间的表示是单向的,方向由秩的大小决定。

880 第12章综合解答 4

原题

设 ,其中 ;,其中 。问:

（Ⅰ） 为何值时, 不能同时由 线性表示? （Ⅱ） 为何值时可同时表示?并求表达式。

同源题

1000题强化篇第 6 章第 6 题与本题完全同源(向量数据一字不差),只是把第（Ⅱ）问改写成”矩阵方程 何时有解、求全部解”。” 能同时由 表示”与” 有解”是同一句话, 的两列就是两组表示系数。下面的解析对两题通用。

解析

第一步:方阵快捷判断。

时 可逆, 必能同时表示(且唯一)。所以问题只出在 。

第二步: 时逐列检验相容性。 此时 ()。

末行读出: 那一列右端是 ,恒相容; 那一列右端是 ,相容 。

（Ⅰ）且时不能同时表示（Ⅱ）或且时可同时表示

表达式

情形一 (唯一)。记 ,回代得

情形二 (无穷多, 自由):

为任意常数。

对应到矩阵方程: 的解就是把两组系数并成两列,

验算( 的形式): 时取 得 ,;直接验 而 ✓ 一致。

1000题基础篇第3章 14

原题

设向量组 不可由向量组 线性表示,则 的取值范围为 ____。

解析

先看 组的秩——本题的关键是它与 无关。

对一切 都有 。

再算增广矩阵的秩。 把三个 一起放到右边:

(末行第二个位置:。)

组能由 组表示 末行右端全为零 。

读法:末行只有 那一列非零,说明只有 可能表示不出来; 对任何 都能表示。“向量组不能由向量组表示”只要求有一个表示不出来,所以整题的闸门就压在 这一列上。

拓展

880 第12章综合填空 2

原题

设向量组 (Ⅰ) ;(Ⅱ) ,则既可由 (Ⅰ) 线性表示,又可由 (Ⅱ) 线性表示的非零列向量为 ____。

解析

设 ,即解齐次方程组

取 为自由未知量:由末行 ;由第二行 ;由第一行 。

双向验算: ✓; ✓ 两条路给出同一个 。

几何解释: 与 各张成 中一个 2 维平面,两个平面必交于一条直线, 就是这条直线上的向量。“求公共向量”就是求两个子空间的交。

1000题强化篇第6章 7

原题

设 3 维列向量 线性无关, 线性无关。

(1) 证明:存在 3 维非零列向量 , 既可由 线性表示,也可由 线性表示; (2) 若 ,求所有这样的非零列向量 。

解析

(1) 考虑齐次方程组，它是 3 个方程、4 个未知数,方程个数少于未知数个数,故必有非零解 。

取 ,它同时可由两组表示。只需再说明 :若 ,则 ,由 无关得 ;同时 ,由 无关得 ——与解非零矛盾。故 。

另证(维数公式):、 都是 的 2 维子空间,，交空间非零。这条路一行写完,但要求会用维数公式;考场上两条都可以。

(2) 解上述齐次方程组:

取 自由:末行给 ;第二行 ;第一行 。

双向验算: ✓; ✓

"方程个数 < 未知数个数 ⟹ 必有非零解"

这是存在性证明里最便宜的一招,本题 (1) 全靠它。看到”证明存在非零向量使……”先数方程个数和未知数个数。

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