考研笔记

矩阵与向量组的联系

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方法模板

矩阵有行向量组和列向量组两副面孔,不同的运算改变的是不同的那一副。做这类题第一件事:分清题目在问行还是列。

乘法对两副面孔的作用

可逆与行向量组等价列空间可能变 可逆与列向量组等价行空间可能变 只保证与矩阵等价同型同秩行、列向量组都可能不等价

记法:左乘管行,右乘管列;两边都乘,两边都不保。

作用在向量组上:，单向结论:(Ⅱ) 无关 (Ⅰ) 无关(等价地:(Ⅰ) 相关 (Ⅱ) 相关)。

反向不成立—— 可以把无关组压扁( 是极端反例)。只有 可逆(或列满秩)时两者相关性才一致。

零空间与行空间与同解行向量组等价，因为零空间是”与所有行正交”的向量集合,决定零空间的是行,不是列。

列满秩带来的左消去律

若 ( 为 ,列满秩),则存在 使 ,于是，即 的行可由 的行表示;反过来 的行本来就由 的行表示。故 与 的行向量组等价。

行列式与相关性: 阶方阵 的列向量组相关 ; 于是把两组的相关性连了起来。

必考

880 第12章综合选择 1

原题

设 是 矩阵, 是 维列向量,向量组 (Ⅰ) ,(Ⅱ) ,则下列选项中正确的是（ ）。

A. 若 (Ⅰ) 线性无关,则 (Ⅱ) 线性无关 B. 若 (Ⅱ) 线性相关,则 (Ⅰ) 线性相关 C. 若 (Ⅱ) 线性无关,则 (Ⅰ) 线性无关 D. (Ⅰ) 与 (Ⅱ) 具有相同的线性相关性

同源题

1000题强化篇第 6 章第 1 题与本题完全同源(仅记号 与 之差),选项一字不差。下面的解析对两题通用。

解析

先证 C 成立。 设 ,两边左乘 :，由 (Ⅱ) 无关得所有 ,故 (Ⅰ) 无关。C ✓

再逐个反驳其余,统一用 :

  • A:取 无关而 ,则 (Ⅱ) 全是零向量,相关。✗
  • B:同一反例——(Ⅱ) 相关而 (Ⅰ) 无关。✗
  • D:同上,两者相关性可以不同。✗

方向记忆: 只会压缩不会展开,所以，秩只减不增 “像无关”是比”原像无关”更强的信息,能往回推,不能往前推。A、B、D 三个错项恰好都是把这个单向箭头反过来用。

880 第12章综合选择 6

原题

设 均是 矩阵,则 与 同解的充分必要条件是（ ）。

A. 的列向量组等价 B. 的行向量组等价 C. 是等价矩阵 D. 与 同解

解析

的解集是与 的每一行都正交的向量全体,所以的行空间，于是

行空间相同的行向量组等价

逐个排除:

  • A:列向量组管的是列空间(即 能取到哪些值),与零空间无关。反例:、,列向量组都等价于 张成的空间,但 、 不同。✗
  • C:矩阵等价只要求同型同秩,太弱。上面的反例中 同型同秩却不同解。✗
  • D: 同解说的是列空间相同,方向反了。✗

行管零空间,列管像空间

这一条把本章和第 13 章连起来:解的结构由行决定( 与自由度),能否有解由列决定( 是否落在列空间里)。同一个矩阵,两个问题看两副面孔。

880 第12章综合选择 7

原题

设 为 阶矩阵, 为 阶可逆矩阵,则下列选项中错误的是（ ）。

A. 若 ,则 的列向量组与 的列向量组等价 B. 若 ,则 的行向量组与 的行向量组等价 C. 若 ,则矩阵 与 等价 D. 若 ,则 的行(列)向量组与 的行(列)向量组等价

解析

  • A ✓: 说明 的每列是 的列的组合; 可逆给出 ,反向也成立。互相表示 列向量组等价。
  • B ✓: 对行做同样的论证。
  • C ✓:( 可逆)正是矩阵等价的定义。
  • D ✗:两边都乘就都不保。 时, 的列 的列的组合,那个多出来的 把列搬出了 的列空间。

反例:取 ,,,则 。 的列空间是 , 的列空间是 ,列向量组不等价。

三条口径压缩成一句:只左乘保行,只右乘保列,两边都乘只保秩。

880 第12章综合选择 8

原题

设 分别为 与 矩阵,且 ,则下列选项中正确的是（ ）。

A. 的列向量组与 的列向量组等价 B. 的行向量组与 的行向量组等价 C. 的列向量组与 的列向量组等价 D. 的行向量组与 的行向量组等价

解析

先做尺寸筛查——等价的前提是两组向量维数相同:

  • 的列是 维, 的列是 维。 时 A 根本谈不上等价。✗
  • 的行是 维, 的行是 维。同理 D 一般不合法。✗
  • 的列与 的列都是 维 ✓; 的行与 的行都是 维 ✓。只剩 B、C 值得算。

验 B。 说明 的行是 的行的组合(系数取自 )。反向: 表示 列满秩,存在 矩阵 使 ,于是，即 的行也可由 的行表示。互相表示 行向量组等价 ✓

验 C(不成立)。 的列确实是 的列的组合,但反向需要 ,一般做不到。反例:(),,则 ,其列空间是 ,而 的列空间是整个 ,不等价。✗

先看维数,再看方向

四个选项里有两个连”能不能谈等价”都不满足。向量组等价的隐含前提是同维,这个筛子能在十秒内砍掉一半选项。

880 第12章基础选择 5

原题

设 ,其中 ,则 3 条直线 恰好仅交于一点的充分必要条件是（ ）。

A. B. C. D.

解析

先认清 是列还是行。 收集的是三条直线的 系数,所以

系数矩阵

未知数是 共 个,增广矩阵是 ,其秩与 相同(乘 不改变秩)。

唯一解的充要条件是系数增广未知数个数，即

排除其余:

  • A: 意味着增广矩阵秩 系数矩阵可能的最大秩,方程组无解(三条直线无公共点)。✗
  • B: 时三条直线重合或平行,不是”仅交于一点”。✗
  • C:只写了相容(有解),没排除”无穷多解”(三线重合)。少了 这个尾巴,C 就是漏掉唯一性的经典错项。✗

" "在保证什么

它保证每个方程确实代表一条直线(系数不全为零),否则 要么是全平面要么是空集。题干里这种看似多余的条件,通常是在排除退化情形,答题时可以不写但心里要清楚。

1000题基础篇第3章 2

原题

设 阶方阵 ,,,记向量组 Ⅰ:,向量组 Ⅱ:,向量组 Ⅲ:。如果向量组 Ⅲ 线性相关,则（ ）。

A. 向量组 Ⅰ 线性相关 B. 向量组 Ⅱ 线性相关 C. 向量组 Ⅰ 与 Ⅱ 都线性相关 D. 向量组 Ⅰ 与 Ⅱ 至少有一个线性相关

解析

三组都是 个 维向量,可以用行列式统一判断:Ⅲ相关或，即 Ⅰ 相关或 Ⅱ 相关,至少有一个。

为什么不能更强:取 、,则 Ⅱ 无关而 Ⅲ 相关,排除 B、C;交换 的角色排除 A。“至少有一个”正是数的乘积为零时的标准结论,不能加强成”都”。

1000题强化篇第6章 3

原题

设 3 维向量组 ,且 是 3 阶矩阵,满足 ,,,则 ____。

解析

不要去求 。 思路:把 用 表示,再对等式两边同时作用 ,已知条件就能把右端全部换掉。

第一步:确认 是基。

第二步:解 。

回代:;;。，(核对: ✓)

第三步:作用 。

这是”线性映射由基上的像唯一确定”的直接应用:知道 在一组基上的作用,就知道 在任何向量上的作用——只需把那个向量在基下展开,系数照搬到像上。求出 本身要解一个 矩阵方程,比这条路慢得多。

拓展

880 第12章综合解答 7

原题

设矩阵 , 为 维列向量,,且 ,证明: 线性无关的充分必要条件是 。

解析

是 , 是 阶方阵。

() 设 。若 ,则 ,由 可逆得 。故 只有零解, 组线性无关。

() 设 组无关,即 只有零解。若 ,两边左乘 :

故 只有零解, 可逆,。

另证(一行):实矩阵恒有 (第 11 章结论),于是

无关满秩

"实"字不能丢

正向证明的关键一步 只对实向量成立。复数情形要把 换成共轭转置 才有同样结论。这与第 11 章 $AA^{\mathrm T}=O\Rightarrow A=O$ 是同一个坑。

另外, 是必要的: 时 组必相关, 也必奇异,命题虽仍成立但两边都恒假,题目加这个条件是为了让结论非平凡。

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