初等变换与初等矩阵
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方法模板
核心口诀:左乘换行,右乘换列。
对 做一次行变换 用对应初等矩阵左乘;做一次列变换 右乘。而”对应的初等矩阵”就是把同一个变换施加到 上得到的矩阵。
| 变换 | 由 生成 | 逆 |
|---|
| 交换 | 交换 的 行 | 自己() |
| 第 行乘 | 的第 个 换成 | 第 行乘 |
| 第 行的 倍加到第 行 | 的 位填 | 同位置填 |
最容易错的一处:倍加型的行列之分。
- 行变换”第 行的 倍加到第 行” → 左乘, 落在 。
- 列变换”第 列的 倍加到第 列” → 右乘, 落在 —— 下标反过来。
不会记错的办法:把变换施加到 上,得到什么就是什么,不要背下标。
读题四步:① 对比 与 ,列出做了哪些变换;② 判断行还是列 → 左乘还是右乘;③ 按发生顺序从内往外套,先做的贴 最近;④ 逆变换查上表。
周期性:,故偶次幂为 、奇次幂为自身。题目出现 、 时先算周期。
等价的判据: 与 等价 同型且同秩。这是三种关系里条件最弱的一个(等价 相似 正交相似,合同另算)。
必考
880 第11章基础选择 1
原题
设 ,
则 （ ）。
A. B. C. D.
解析
拆成两个独立变换。
行: 的三行依次是 的第 行 → 行置换 → 左乘。验证 : 的第 1 行是 ,故 的第 1 行 的第 2 行 ✓;同理第 2、3 行取 的第 3、1 行 ✓。
列: 的第 2 列是”原第 2 列 原第 3 列”,第 1、3 列不变 → 右乘。验证 : 的第 列 的第 列,而 的第 2 列是 ,故 的第 2 列 的第 2 列 第 3 列 ✓。
的第 列 的各列以 的第 列为系数的组合。要确认某个 对不对,只看它的列,不必做整个乘法。
1000题基础篇第2章 10
原题
设 为 3 阶矩阵,将 的第 1 行加到第 2 行得 ,再将 的第 2 列的 倍加到第 1 列得 ,记 ,则 （ ）。
A. B. C. D.
解析
第一个变换(行):第 1 行加到第 2 行。施加到 上得 ,这正是 。故 。
第二个变换(列):第 2 列的 倍加到第 1 列。施加到 上得 ,恰是 。故 。
陷阱在于题目给的是 而非 : 的 在 ,而”第 1 行加到第 2 行”对应的 在 。永远用”施加到 上”生成矩阵,再回头认它是 还是 。
1000题基础篇第2章 12
原题
设 ,
则（ ）。
A. B. C. D.
解析
两个变换都是行变换 → 一定左乘,先排除 A、B。
()。,对应”第 1 行加到第 3 行”。
顺序判断: 的第 3 行是 ,加上去的是原矩阵的第 1 行。若先交换 1、2 行,第 1 行就变成 ,再加会得到 ,不符。
所以先 、后 ,先做的贴 最近:
验证:,再交换前两行即得 ✓
1000题基础篇第2章 13
原题
将 3 阶方阵 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行得矩阵 ;将 3 阶方阵 的第 3 列的 倍加到第 1 列得矩阵 。若 ,则 （ ）。
A. B. C. D.
解析
( 由” 的第 3 列的 倍加到第 1 列”生成, 落在 。)
把 换成 , 把 换成 。于是 就是对 做两次逆变换:
认出”逆变换”这一步就不用做矩阵乘法:左边把第 1 行的 倍加到第 2 行,右边把第 3 列的 倍加到第 1 列,两步得答案。
880 第11章综合选择 3
原题
设 ,,且 ,则正整数 可以为（ ）。
A. B. C. D.
解析
交换第 1、3 行,,故 ( 偶)、( 奇)。
- A: ✓ 对任意 成立
- B:;C:;D: —— 都只对特殊 才等于
题眼: 是任意矩阵,所以只有恒等式才算数。 都取偶数就永远成立,取奇数则要求 有特殊对称性。
1000题基础篇第2章 1
原题
以下矩阵乘积的结果为 的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
解析
这是高斯消元的记录( 分解)。对 消元:
( 的下三角元素就是消元乘数 ,主对角必为 )。故 。
选项 C 是 ,而
故 C 的乘积正是 。
最快排除口径: 的主对角必须全是 。A 的 是 ,B、D 的 是 ,一眼排除。
拓展
880 第11章基础选择 4
原题
设矩阵 与 等价,则（ ）。
A. B. C. D.
解析
等价 同型且同秩。 两者都是 ,只需 。
:
当 ; 当 。
:
第 4 行减 倍第 3 行归零,故 对一切 。
要 ,必须 。
等价只要同型同秩(可以不是方阵),条件最弱;相似 ;合同 。三者关系在第 14、15 章反复出现,现在先把”等价 同型同秩”钉死。
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