考研笔记

余子式与代数余子式的线性组合

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方法模板

这一类题目永远不要真去算那些余子式。核心只有一条恒等式:

的第行换成

即代数余子式的线性组合 = 把对应的那一行(列)整体换掉后的行列式。理由: 与第 行的元素无关,所以把第 行换成任何数,按该行展开的公式 形式不变。

同理按列:的第列换成。

三步固定流程:

  1. 统一成代数余子式。若题目给的是余子式 ,先用 换掉,系数会跟着变号——这是本题型第一大坑。
  2. 读出替换向量: 里的 就是新行的第 个分量。
  3. 算新行列式。新行往往与原来某一行只差一点,先做行变换制造零再展开。

另外两个必须条件反射的结论:

  • 异行展开为零:。看到”用第 行的数配第 行的代数余子式”直接写 。
  • ,而 ,故主对角代数余子式之和 。

必考

880 第10章基础选择 1

原题

设行列式

则 的第 4 行各元素的余子式之和 （ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

第一步换成代数余子式。,即 ,,,,于是，第二步读替换向量:。所求即

第三步计算。第 3 行只有一个非零元 在 位置:

故 ,选 。

忘记 的变号

若直接按 替换,会得到 ,算出来是 ,恰好是选项 B。出题人就是在这儿设的陷阱。

1000题强化篇第2章 1

原题

设

表示 中第 3 行第 列元素的余子式 ,则 （ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

,故 ,,,:，替换向量 ,恰好和第 1 行 只差第 3 个分量。构造

按第 3 行展开:

对该三阶做 、:

故 ,选 。

这题的取巧点:替换向量与第 1 行高度相似,先 造出一行三个零,四阶直接降到三阶。动手前先扫一眼替换向量像不像原来的某一行。

1000题强化篇第2章 2

原题

设 , 表示元素 的代数余子式,则 ____。

解析

直接是代数余子式,不用换符号。替换向量 放进第 1 行:

逐项:,,,

第 2、3 行原封不动

换的是第 1 行,后两行(包括那个显眼的 )一个都不能动。很多人看到 就想化简,结果把行列式改了。

1000题强化篇第2章 3

原题

已知 3 阶行列式 ,其第 2 行元素为 ,第 3 行元素为 ,则 ____。

解析

第 1 行未知,但不需要知道。设第 1 行为 。

替换向量 放进第 3 行:

再从已知条件榨出 。原行列式

故 。

结构洞察:第 2、3 行的前两个分量都成比例( 与 ),所以两个行列式都退化成只依赖 的形式。未知量能被约掉,是这类”信息不全”题的标准设计。

880 第10章基础填空 12

原题

设 为 阶方阵,,且 的每列元素之和均为 ,则 的代数余子式之和 ____。

解析

所求 ,替换向量为全 :

关键一步:回头看 。把第 行加到第 1 行,行列式不变,而每列之和为 ,故第 1 行变成 :

所以

这题的漂亮之处:替换后的 不用单独算,它正好是 提取公因子 之后剩下的东西。“每行/每列之和相同”这个条件,九成是提示你去做行加行。

880 第10章综合选择 1

原题

设 是 3 阶可逆矩阵, 的特征值为 ,则 的代数余子式之和 （ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

主对角代数余子式之和 。用 :， 特征值 ,故 ,且 ,从而 。

的转置不影响迹

,元素位置转置了,但主对角线不动,所以 无需担心转置。这也是为什么只有”主对角代数余子式之和”才有这条捷径,换成 就必须回到换行法。

拓展

1000题强化篇第2章 4

原题

已知 3 阶行列式 的元素 均为实数,且 不全为 。若 ,其中 是 的代数余子式,则 ____。

解析

条件说的是矩阵级关系。由 。

两边取行列式,用 ():

于是 或 。必须排除 :若 ,则

的第 个主对角元是 ,由实数条件它为 迫使第 行全零,于是 ,与” 不全为 “矛盾。

实数条件是必需的

""只对实矩阵成立。复矩阵里 就满足 而 。题干写”均为实数”不是废话。

880 第10章综合填空 6

原题

设 阶行列式

则 的第 行元素的代数余子式之和 ____。

解析

矩阵每行只有一个非零元:第 行()在第 列取值 ,第 行在第 列取值 。对应的置换是 轮换 ,符号 ,故，所求 ,即把第 行换成全 后的行列式 。 中除第 行外每行仍只有一个非零元,它们唯一地占掉了 个列,给第 行只剩下一个可选列——恰是原来第 行非零元所在的那一列。于是非零项只有一项,置换与原来相同(符号仍是 ),乘积则是把原来第 行的那个因子换成 :

验证边界: 时被换掉的因子是 ,剩 ,与公式一致。

1000题基础篇第1章 9

原题

设行列式

表示元素 的代数余子式。若 ,则 ____。

解析

注意下标: 第二个下标都是 1,这是同一列的代数余子式,所以要换的是第 1 列,替换向量 :

再 、:

由 得 。

看清是换行还是换列

换行, 换列。判据看哪个下标在动:本题动的是第一个下标,所以是列。写反的话会得到完全不同的方程。

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