考研笔记

配方法与可逆线性变换

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方法模板

一、配方法三步

情形动作
有平方项挑一个 系数非零的 ，把所有含 的项（含全部交叉项）打包配成一个完全平方；之后 不再出现
没有平方项先做和差代换 （其余不动）造出平方项，再回到上一行
递推对剩下的变量重复，直到只剩平方项

新变量按 含含不含 依次写出，系数阵自动是上三角且对角线非零，可逆性无须另证。

二、 还是 ——本章头号陷阱

配方法直接得到的是新变量用旧变量表示：上三角，而题目通常要求的是”可逆线性变换 “，所以

少求一次逆 = 直接答错

选择题的干扰项经常就是 本身（880 基础选择 7 的选项 B 正是这样）。写完配方一定回头确认方向：题目说 ，你手上的矩阵是把 变成 的，必须取逆。

一个自查小技巧： 的第 列就是” 时对应的 “。代进原二次型算一下，应当等于标准形里 的系数。

三、化到指定对角阵的合同：

两段接力，中间站是规范形：

（ 由配方法给出； 是把 的对角元开方后取倒数的对角阵，极易写。）

前提是 与 真的合同——同秩、同正惯性指数。所以做题顺序永远是：先验合同，再构造矩阵。

四、同时对角化两个二次型（ 正定）

题型：求一个 ，同时把 化成规范形、把 化成标准形。

步动作关键
1配方求 ：需要 正定，否则第一步就化不成
2算 ，把它正交对角化： 必须正交，才有 ——不破坏第 1 步的成果
3同时得到 、

标准形系数 就是 的特征值（可用来先验答案）：由 得 。

第 2 步为什么非得正交不可

若第 2 步用一般可逆阵 把 对角化，那么 一般不是 ， 的规范形就被毁了。只有正交阵能”保住 “。这也是为什么这套流程必须先化 （正定的那个）、后化 ：顺序反了做不成。

必考

880 第十五章基础选择 7

原题

设 ，若存在可逆矩阵 ，使得 ，则 可能为（　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析

写出二次型（对角元 ；交叉项系数是矩阵元的 2 倍）：，对 配方：

于是

注意 正是选项 B——但题目要的是 ，所以 ：

选 A（此时 ）。

选项 B 就是"忘了求逆"的答案

出题人把 明目张胆地放进选项。 中的 是把新坐标送回旧坐标的那个矩阵，与配方法直接产出的 互为逆。

快速排除法： 的第 1 列若是 ，则 的 元 ，A、B、C 三项都满足，区分不开；但看第 2 列——选项 C 的第 2 列 代入得 ，而 ，不是对角阵，排除。代两列就能定选项。

880 第十五章综合解答 1

原题

设二次型 的正负惯性指数都是 1．求：

（I） 的值； （II）可逆线性变换 ，将 化为标准形．

解析

（I） ：， 或 。回代筛选：

  • ：，三行两两成比例，， ✗
  • ：，， ✓ 再核惯性指数：，两个非零特征值之和为 0，必一正一负， ✓

（II） 时，对 配方：

令 ，则 。回解 ：

（核对： ✓，与第 I 问一致。）

的多个根，用"惯性指数"而不是"秩"来筛更快

本题两个根 都让行列式为零，但 时秩掉到 1。根的重数往往就是秩掉多少的提示： 里 是二重根，对应秩掉 2； 是单根，对应秩掉 1。看重数就能猜出该留哪个，再验证一遍即可。

880 第十五章综合解答 9（第 I 问）

原题

已知二次型 经过可逆线性变换 化为 ．

（I）求 的值及可逆矩阵 ； （II）设 ，当 时，求 的最大值，并求满足 的最大值点．

解析（第 I 问；第 II 问见 二次型的最值）

目标 的秩是 2、、，故 ，即 。沿第 2 行展开：

回代 ✓（第 1 行 第 3 行）。此时， ✓ 与目标一致。

关键细节：目标写的是 ，缺的是 项，不是 项。 所以要把两个平方分别派给 与 ，让 当那个自由的、不出现的变量：

回解得 ：

验证： ✓

" "不等于""

规范形按惯例把非零项排在前面，但题目一旦指定了下标位置，就必须照办。本题要求缺项在 ，所以 的第 2 列可以是任何让 可逆的向量（这里取 ）——它对应的是那个”随便动、不影响 “的方向。

判断哪一列自由： 的第 列 满足 时， 就不出现在标准形里。这里 ✓

1000 基础第 6 章 17

原题

设 ，若二次型 的规范形为 ，求 的值与将其化为规范形的可逆线性变换．

解析

规范形 ：。由 ：， 或 。两个根都让秩变成 2，必须靠惯性指数来分：

：

✓

：， ✗

求可逆变换：由 ，令

两个根、同样的秩——只有配方能分开

这是本节最典型的结构：行列式为零给出候选，配方给出惯性指数，惯性指数才是判据。两次配方的第一步完全一样（都是把 打包成 ），差别只在余项是 还是 。做这类题时把两个 的配方都写出来，比试图”预判”哪个对更可靠也更快。

拓展

1000 基础第 6 章 19

原题

已知 ，，求可逆矩阵 ，使得 ．

题干还原

OCR 把两个矩阵都印成了 。按题意（求 ）以及第二个矩阵是对角阵，第二个应为 ，此处已还原。

解析

第一步：验合同。 的顺序主子式

故 正定，； 也正定。同阶、同秩、同正惯性指数 合同， 存在。

第二步：配方，把 化到规范形。

余项

（顺手核对：，，——配方系数就是顺序主子式的逐级商，一条免费的自查。）

第三步：两段接力。 令 ，则 ，记这一步为 。又 一侧取 使 ，则，先写 （从 回解 ）：，，，

（第三式用到 ， 恰好抵消。）

验证（逐列代入）

取 得 应等于
✓
✓
✓

逐列代入是最快的验算

的 元就是 ，其中 是 的第 列。三个数一算就知道对角元对不对（非对角元错的可能性小得多，因为配方本身保证了正交性）。这比老老实实做两次矩阵乘法快好几倍。

别把 当成相似

的特征值不是 （ 是巧合，但 ）。合同只要求惯性指数相同，对角元可以是任意同号的数。 若本题问的是 ，答案就是”不存在”。

1000 强化第 9 章 18

原题

若可逆线性变换 可将二次型 化为规范形 ，同时将二次型 化为标准形 ，求可逆矩阵 及 的值．

解析

先验前提： 必须正定（否则化不成 ）。 ✓

先算答案 （用来自查）：由 得 ，故 是 的特征值。

下三角阵，特征值 与 。所以 。

第 1 步：配方化 到规范形。

第 2 步：把 在新坐标下的矩阵正交对角化。 代入 ：

，谱为 ，即 与 （与预算一致 ✓）：

正交 ， 的规范形保住了。

第 3 步：合成。

验证（，）：

两个二次型不能各自随便配方

最常见的错法：分别对 和 配方，得到两个不同的变换，然后声称”找到了 “。题目要求的是同一个 同时做两件事，一般的配方给不出来。

也别指望”随便一个把 化成 的 “就够用：本题里 把 化成了 ，但 在新坐标下是 ，还有交叉项。第 2 步的正交对角化不可跳过。

这就是"广义特征值问题"的考研版

的特征值 满足 ——这是力学里的振动模态方程。考研只考 2 阶、 正定的最简情形，但流程与一般理论完全一致：正定的那个二次型充当”新的单位矩阵”，另一个在它定义的度量下被对角化。

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