考研笔记

标准形、规范形与惯性指数

🏠 第15章概念导航 · 二次型题库

方法模板

一、三个”形”必须分清

名称长相唯一吗用什么变换得到
标准形， 是任意实数不唯一任何可逆线性变换
（正交变换下的）标准形同上，但 必须是 的特征值差一个排序正交变换
规范形唯一任何可逆线性变换

"标准形"三个字在题面上是两种意思

题目只说”化为标准形”，系数可以是任何实数（配方法出来的系数五花八门）；一旦说”经正交变换 化为标准形”，系数就必须是特征值。判断题、选择题常拿这个差别做文章：给一组特征值，问”能否经正交变换化成某个标准形”，答案取决于系数集合与谱是否逐个相等（不只是正负号个数相等）。

二、惯性定理：可逆线性变换保住的两个数

正惯性指数与负惯性指数

在任何可逆线性变换下不变，。所以：

两个二次型合同同秩且同正惯性指数规范形相同

三、定惯性指数的”三件套”

对 阶实对称 ，特征值 全实：

3 阶且 （纯交叉项二次型的标配）时，这三件套直接定死结论：

结论规范形
秩 3，两负一正
秩 3，两正一负
秩 ，须另判——

推理很短： 且不全为零 必有正有负；三个非零数之积为正只能是”两负一正”，为负只能是”两正一负”。

四、纯交叉项二次型（没有平方项）的三招

中一个 都没有时，配方法无从下手。三条路：

  1. 和差代换：取 （可逆），把 变成 ，凑出平方项后转入常规配方；
  2. 拆成两个线性型的积：，若 线性无关则 、；
  3. 三件套：写出 ，算 （必为 0）与 ，查上表。

选择/填空一律走第 3 招，解答题才用第 1 招

三件套只需算一个 3 阶行列式；和差代换要写出完整的可逆变换矩阵，是解答题才需要付的代价。

必考

880 第十五章基础选择 1

原题

二次型 的标准形为（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析（秒杀：只看秩和符号）

平方和型，系数矩阵

三行之和为零向量，故 ；前两行显然无关，。又 是平方和，，于是 。

四个选项中秩为 2 的只有 B（其余都是 3 项），选 B。

另解（配方，把 B 真的算出来）

展开 。对 配方：，余项

与 B 逐字吻合 ✓

为什么这个 一定退化

时三个括号全为零。“两两作差的平方和”永远在对角线方向 上取零，所以秩至多 。这条几何观察对任意 都成立，是判”闭合的差型平方和必退化”的通用理由。

对照：把减号换成加号， 的秩是 3（正定），因为奇数项时符号无法闭合。这一对在 正定的判定 里正面考。

880 第十五章综合选择 1

原题

二次型 的正、负惯性指数分别为（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析（提公因式，化成两个线性型的积）， 的系数行向量 与 线性无关，故可把它们扩充成一组新坐标。由得 ，选 A。

具体的可逆变换（解答题要写出来）

系数阵

此时 。

另解（三件套）

第 1 行 = 第 3 行，，故有一个 ； 说明另两个特征值互为相反数，必一正一负。，选 A。

不要看到"只有交叉项"就以为

这里 是因为秩恰好是 2。下一题 秩为 3，就变成 了。先定秩，再定符号分配，顺序不能反。

1000 基础第 6 章 1

原题

的正惯性指数为（　）.

(A) 3　　(B) 2　　(C) 1　　(D) 0

解析（三件套）

； 且 两负一正。故 ，选 C。

另解（和差代换 + 配方，验证同一结论），令 （可逆，行列式 ）：，系数 ： ✓

三件套里 是"白送"的

纯交叉项二次型的对角元全是 0， 不用算。所以整道题的计算量就是一个 3 阶行列式。这也是为什么选择题遇到纯交叉项，走三件套几乎不可能超过一分钟。

1000 基础第 6 章 2

原题

设二次型 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 1，则以下结论可能成立的是（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

且三个特征值两正一负，故

逐项核对：(A) ✗；(B) ✓；(C) 含 ，此时 、秩 ，不满足 ✗；(D) ✗。

选 B。

"可能成立"要求的是 存在，不是充要

选项 (C) 看起来”包含了正确答案 “，但它同时允许 这个反例，所以作为一个断言它不成立。含参选择题里，一个区间只要含有一个反例就整体作废——这与”求 的取值范围”的题型正好相反，后者要的是完整区间。

1000 强化第 9 章 3

原题

的规范形为（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析（三件套）

，， 两正一负，。

规范形 ，选 A。

与上一题对照着记

的 ，两负一正； 的 ，两正一负。两道题的形状几乎一样，结论正好相反，全靠行列式的符号分开。做纯交叉项题时不要凭”感觉哪边项多”猜，一定把行列式算出来。

1000 强化第 9 章 4

原题

二次型 的正惯性指数 （　）.

(A) 与 有关，与 无关　　(B) 与 无关，与 有关　　(C) 与 均有关　　(D) 与 均无关

解析

记 ，则 。

关键只有一个问题： 这两个线性型是否线性无关？ 它们的系数行向量是与，第二个分量 ，所以这两行永远不成比例——无论 取什么值， 恒线性无关。

于是可把 扩充为一组新坐标 （可逆变换），，恒有 ，与 都无关。选 D。

"两个线性型之积"的秩只有两种可能

中：

  • 线性无关 （一张双曲型的锥面）；
  • 成比例，即 ，， 由 的符号定。

所以这类题只需检查系数行向量是否成比例。本题里 的系数已经把答案锁死了， 是纯粹的干扰项。

拓展

1000 强化第 9 章 5

原题

二次型 的规范形为 ____．

解析

求和是双重的（ 各跑 ），所以 直接就是矩阵的第 元：

（展开写就是 ——交叉项系数是矩阵元的 2 倍，正好对上。）

三件套：，，，， 两负一正：

验证（把特征值真算出来）

其中 是全部二阶主子式之和：

是根（），因式分解得 ，，，，：两负一正 ✓，规范形 。

与 差一倍

前者每个交叉项数两遍（ 与 ），系数直接是矩阵元；后者只数一遍，交叉项系数是矩阵元的 2 倍。看错求和范围会让整个矩阵差一个因子 2——虽然本题的规范形不受正倍数影响，但含参题和求最值题会直接错。

记法：写成 的那个求和，就是双重、无约束的那个。

这条通道值得留着

三阶特征多项式 里的三个系数分别是一阶、二阶、三阶主子式之和。当矩阵有很多 0 时，算三个主子式和比展开 快。这条恒等式在第14章已经建立，见 第14章 特征值的基本性质。

链接

反向链接