考研笔记

相似的判定与不变量

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方法模板

相似的必要条件清单(判”不相似”用它)

( 可逆使 )

不变量说明
特征多项式 从而全部特征值(含重数)相同
最快用的一个
从而同时可逆或同时不可逆
秩 更强:对任意 ,
是否可对角化相似关系是等价关系,可对角化性被继承

这些全是 必要条件,不是充分

特征值全同的两个矩阵可以不相似(见 880 基础选择 3 里的 与 )。判”相似”必须补上”每个重特征值的秩也相同”。

判”相似”的三条路(按可用性排序)

  1. 两边都可对角化,且特征值相同 相似(经由同一个 中转)。这是考研 95% 的情形。
  2. 三阶、特征值全同:再逐个比 与 ,全相等则相似。
  3. 直接构造 : 逐列比对,或走 。

求" "的万能公式

分别把两边对角化:,则

两个 必须写成同一个(特征值顺序对齐),否则拼不上。求出的 可整体乘任意非零常数(相似变换里抵消),用来清分母。

相似关系对运算的继承(选择题高频)

设 。

运算是否保持相似理由 / 反例
✔,同一个
(多项式)✔同一个
✔(可逆时)等式取逆
✔(可逆时),而
✔等式转置,用
✔( 或 可逆时)
✘见 1000 强化 11
✘除非

唯一的分水岭: 转置用的是 ,不是

,把 变到 用的矩阵是 ,与 不同。所以 与 各自能过去,合起来 就过不去了 —— 因为没有一个统一的 。

记法:能写成” 的多项式 / 逆 / 伴随”的,一律保相似;一旦掺进转置又要做加法,立刻警惕。

必考

880 第十四章基础选择 5

原题 设矩阵 与 相似,则必有( ).

A. 矩阵 与 相等 B. 同时可逆或不可逆 C. 和 有相同的特征向量 D. 和 均与同一个对角矩阵相似

解析

答案 B。

  • B(正确): 相似 ,于是""与""同真同假。
  • A: 相似只保证行列式 相等,矩阵本身当然不等。 时 。
  • C: 特征值相同,特征向量一般完全不同 —— 的特征向量是 。只有 (即 )时才相同。
  • D: 要求两者都可对角化。反例:,显然相似(取 ),但谁都不与对角阵相似。

"必有"型选择题的通用打法

把四个选项按”强度”排序,最弱的那个往往是答案。这里 B 只断言了一件极弱的事(同时可逆),而 A、C、D 都在断言某种”完全相同”,相似关系没那么强。

更实际的一招:A、C、D 各自都能被” 某个简单矩阵”或""一击打破,逐个试一遍最多半分钟。

880 第十四章综合选择 1

原题 设 是 阶可逆矩阵,且 ,则下列结果:

①②③④

中正确的个数为( ). A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

解析

答案 D(四个全对)。

先把题设化成常规形态。 设 ,两边取逆:，(用了 。)所以 ——② 直接成立,而且后面三条都可以从 出发。

  • ② ✓(上面已证)。
  • ③ ✓,同一个 。
  • ④ 把 转置:,即 其中 ✓。
  • ① 这条与 无关,对任意可逆 和任意 都成立:

✓。

四个全对,选 D。

① 是个"送分"的干扰项

它根本不需要题设条件。凡是看到 与 ,先想”其中一个可逆吗” —— 可逆就直接相似。本题开头就说了 可逆,①自动为真。

若两者都不可逆, 与 只保证特征值相同,不保证相似(反例见可对角化的判定里 1000 基础 14 的 (2))。

1000 基础篇第5章 19

原题 设 是 阶可逆矩阵,且 ,则以下结论中:

①②③④

正确结论的个数是( ). (A) 1　(B) 2　(C) 3　(D) 4

解析

答案 D(四个全对)。与上题是一对姊妹题,只把 ③ 换成了伴随。

设 。

  • ① 两边取逆: ✓。
  • ② 转置,用 ✓。
  • ③(唯一需要动脑的一条) 相似 ,记这个公共值为 。于是

✓。关键在”两个行列式相等”,否则两边的常数因子对不上。

  • ④ 可逆, ✓。

选 D。

③ 的常见错法:忘了

有人写成 ,然后卡住,因为 看起来不是 。必须先说明 (这是相似的必要条件),两个常数才合并得掉。

反过来想:如果 与 只是”特征值相同”而不相似, 照样成立,③ 的这一步不受影响 —— 真正需要相似的是”存在同一个 “。

1000 强化篇第8章 11

原题 设 是可逆矩阵,且 与 相似,则下列结论错误的是( ).

(A) 与 相似　(B) 与 相似 (C) 与 相似　(D) 与 相似

解析

答案 C。

设 。

  • (A) ✓,见上题 ②。
  • (B) 是 的”有理式”,而 对 和 同时有效:
  • (D) 同理, 且 ,故 经 变为 ✓。
  • (C) ✘。 用的是 , 用的是 —— 两个不同的矩阵,加起来没有统一的相似变换。

反例(必须能举出来): 取

则

两者迹都是 4,但 而 —— 行列式不同,不相似。✓

分辨"保相似"与"不保相似"的一句话判据

能只用 本身(加、乘、逆、数乘、单位阵)写出来的表达式,一律保相似;一旦出现 且不是整体转置,就不保。

检验方法:把表达式记作 ,问” 能不能整理成 ”。(B)(D) 能,(C) 不能——因为 。

反例的构造思路

想让 出问题,就取一个不对称的 ,再用一个不正交的 。若 是正交阵(),(C) 反而成立 —— 这正是”合同 + 相似 = 正交相似”在第15章的伏笔。

880 第十四章综合选择 2

原题 设矩阵 相似于 ,则 ,, 满足( ).

A. 　B. 　C. 　D.

解析

答案 D(,即 )。

第一步:,秩可以在 上算。 因为，所以对任意常数 ,。把 换成 ,题目就变成纯计算。

第二步:求 的谱。 是块对角阵,

的特征值为 与 ; 的为 与 。故 的四个特征值是， 实对称,必可对角化,。

第三步:三个秩一起读出来。 相似保秩,直接在对角阵上数非零元:

于是 ,选 D。

秩就是"平移后还剩几个非零特征值"

对可对角化的 :

换句话说, 是几重特征值, 就掉几阶秩; 不是特征值时秩满。本题: 是二重 ; 不是特征值 ; 是一重 。一句话读完三个答案。

不要去展开

根本没给具体形式。本题唯一的入口就是”相似保一切秩”。看到” 相似于某个具体矩阵”再问 的性质,一律换成那个具体矩阵去算。

1000 强化篇第8章 3

原题(1) 下列矩阵中与矩阵 相似的是( ).

(A) 　(B) (C) 　(D)

原题(2) 下列矩阵中,与 不相似的是( ).

(A) 　(B) (C) 　(D)

解析

(1) 答案 C。

的秩为 1、迹为 1,故特征值是 ; 的几何重数 代数重数, 可对角化,。

于是”与 相似""特征值 且可对角化""秩 1 且迹 1”。逐项扫:

选项迹秩结论
(A)21迹不对 ✘
(B)31迹不对 ✘
(C)11✓
(D)12秩不对(几何重数只有 1)✘

选 C。

秩 1 矩阵的判据只有"迹"

若 ,则 的特征值必为 ,且当 时必可对角化。所以两个秩 1 矩阵相似 迹相同(在迹非零时)。(A)(B) 都是 的”行搬家”版本,秩没变但迹变了——行变换不保迹,也不保谱,这正是出题人要考的。

(2) 答案 D。

记 。它是上三角,特征值 ;

几何重数

不可对角化。所以”与 相似""特征值 且 ”。

  • (A): 上三角,对角线 ✓。, ✓。相似。
  • (B): 下三角,对角线 ✓。, ✓。相似。
  • (C): 上三角,对角线 ✓。, ✓。相似。
  • (D): 。左上 块 的特征多项式为 ,判别式 ,特征值是复数 。实特征值对不上,不相似。

选 D。

实矩阵可以有复特征值——这是 (D) 唯一的考点

前三项都在陪跑,真正的题眼是:看到 块形如 (旋转伸缩型),立刻检查判别式。这类块的特征值是 ,在实数范围内根本没有特征向量。

反过来,若题目保证矩阵实对称,就绝不会出现这种情况——这也是”实对称”这三个字的价值之一。

880 第十四章综合选择 4

原题 下列矩阵中,与矩阵 相似的是( ).

A. 　B. C. 　D.

解析

答案 A。

四个选项与原矩阵的特征值全是 (都是对角线全 1 的上三角阵),所以特征值这一关分不出胜负。唯一的判据是 。

记 ,则

逐项算 的秩:

选项秩
A第 1 行 ,第 2 行 ,第 3 行 2 ✓
B第 1 行 ,第 2 行 ,第 3 行 1 ✘
C第 1 行 ,其余全 1 ✘
D第 1 行 ,其余全 1 ✘

只有 A 的秩是 2。选 A。

三阶、单一特征值时,秩就是完整的判据

特征值全为 的三阶矩阵,按 恰好分成三类,彼此不相似:

相似标准形
0(对角)
1一个 2 阶 Jordan 块 + 一个 1 阶块
2一个 3 阶 Jordan 块

所以本题中秩相同 必相似,不需要真的构造 。这一点在一般情形下不成立(四阶起就要看更多信息),但三阶够用。详见不可对角化与 Jordan 链。

直观看:B、C、D 的那个 都"没连上"

里的两个 1 分别在 和 ,首尾相接,把 串成一条长度 3 的链;A 保留了这条链(把 位置的元素改成 不影响链长)。B、C、D 都断了中间一环,链最长只有 2。链长 = 的另一种读法。

1000 强化篇第8章 12

原题 设 3 阶矩阵 ,,.

(1) 为何值时,矩阵 等价?说明理由. (2) 为何值时,矩阵 相似?说明理由.

解析

答案:(1) ;(2) 。

这题的全部价值,是把”等价”与”相似”摆在一起对比。

关系定义判据
等价 可逆,同型 且 (仅此而已)
相似 可逆,特征值相同 + 各重特征值秩相同

(1) 等价 秩相同。

的第 3 行 第 1 行 第 2 行,而前两行不成比例,故 。

的特征多项式:第三列只有 位置的 ,按第三列展开:

故 的特征值为 ,。

要 :必须 即 ;此时左上角 ,秩确为 2 ✓。

故 。

(2) 相似 谱相同 + 都可对角化(这里两边特征值都互异,自动成立)。

的第 2 行只有 位置的 2,按第 2 行展开:

的特征值为 。与 的 对齐得 。

此时 、 各有 3 个互异特征值,都可对角化且都相似于 ,故 ✓。

别把两问的答案对调

等价只管秩,所以要让 降秩();相似要管全部特征值,所以要让 的谱补齐()。一个要求退化,一个要求对齐,方向正好相反。

顺带记牢层级:相似 等价(取 、),反之不成立。 时 与 秩分别是 3 和 2,连等价都不是。

1000 强化篇第8章 4

原题 设 与 相似,则实向量 ____.

解析

答案 。

第一步: 的谱。 的第一列只有 、第三列只有 位置的 1,展开得特征值，第二步:迹定 。

于是 的特征值是 ,即 二重、 单重。

第三步: 是循环矩阵,行和给出一个特征值。 的每行元素之和都是 ,故， 是 的特征值。它应当匹配 中的某一个。

第四步:利用”实”这个字。 是循环矩阵,另外两个特征值为

它们互为共轭。要它们都是实数,必须 ;此时两者都等于 。

于是 的谱为 ,与 的 对齐:

验算: 时 , 为全 1 阵,特征值 ,故 的特征值为 ✓; 实对称,必可对角化,而 的 二重也需可对角化:

几何重数

另解(不用复数,只用迹与行列式)。 设 待定。，循环矩阵行列式 展开较繁,更实用的是直接用迹的平方与迹的关系:，而由 的对称结构, ——写起来仍不轻松。本题还是走”实循环矩阵 “最快,把三个未知数一次压成一个。

循环矩阵 值得单独记

  • 永远是特征向量,特征值 ;
  • 另两个特征值 与其共轭;
  • 它们全为实数 ,此时矩阵实对称,谱为 。

本题里”实向量 “中的**“实”字就是钥匙** —— 不点明这个字, 的复数解也满足特征值匹配。

拓展

880 第十四章综合选择 3

原题 与 既相似又合同的矩阵是( ).

A. 　B. C. 　D.

解析

答案 C。这题把第14、15两章缝在一起,是本章唯一正面考”相似 vs 合同”的题。

两个关系各管什么:

关系定义不变量
相似全部特征值
合同( 对称)正、负惯性指数(正/负特征值的个数)

对实对称矩阵,合同 正负特征值个数分别相同;而相似要求特征值数值都相同 —— 相似是更强的要求。

关键观察:实对称矩阵若与 相似,则自动与 合同

因为相似 特征值全同 正负个数当然相同。所以本题实际只需找出既实对称、又与 相似的那一个。选项都是 块,先看对称性,再算谱。

逐项检查。 每个选项的谱 块的两个特征值,需要等于 ,即那个块的特征值应为 (迹 、行列式 )。

选项对称? 块的迹块的行列式块的特征值结论
A✘()谱对,但不对称,谈不上与对角阵合同
B✔谱错 ✘
C✔谱对且对称 ✓
D✔谱错 ✘

选 C。

A 是精心设计的陷阱

A 的特征值确实是 ,与 相似。但 A 不对称,而”合同”在考研语境下讨论的是实对称矩阵的等价分类(二次型的矩阵必对称)。非对称矩阵与对角阵合同这件事本身没有意义(或者说不在考纲内)。题目说”既相似又合同”,A 只满足前一半。

做题动作:先扫对称性(一眼),再算谱。能一眼扔掉一个选项就扔。

880 第十四章综合解答 15

原题 设 与 相似.

(Ⅰ) 求 的值; (Ⅱ) 求可逆矩阵 ,使得 ; (Ⅲ) 记 的伴随矩阵为 ,求方程组 的通解.

解析

(Ⅰ) 答案 ,,。

的谱: 左上 块 的特征值为 ,加上右下角的 ,故的特征值，迹给 : 。

行列式给 : 的第 2 行为 ,按它展开:

已知

令 ,得 。

秩给 : 实对称、必可对角化,故 也可对角化; 二重 。

第 1、3 行须成比例,首元都是 、末元都是 ,故 。

验算: , ✓, ✓, 秩为 1 ✓。

(Ⅱ) 答案

走 ,两边用同一个 。

的特征向量:

  • : 给 ,得 ;
  • : 归结为 ,得 。

的特征向量:

  • : 的第 2 行给 ,第 3 行给 ,得 ;
  • : 归结为 ,得 。

验算 的第一列: ; 的第一列 ✓。(第二、三列同样验过。)

(Ⅲ) 答案:通解为任意，不要去求 ! 用转移表:,故 ,特征值为 ,特征向量与 完全相同:

二重

于是 的特征值是 与 ,对应特征向量不变。所以

的特征值的特征子空间的特征值的特征子空间

即由 张成。

(Ⅲ) 是本章与第13章最漂亮的一次会合

“解 “表面上是方程组,实质是求 关于特征值 3 的特征子空间。而 的特征向量 = 的特征向量,(Ⅱ) 里已经全部算出来了 —— 第三问一个新计算都不需要。

通用口诀:看到 ,立刻翻译成”求 关于特征值 的特征子空间”,再回到 上找对应的 。 全程不碰 、不碰 的元素。

三问的依赖关系不能打乱

(Ⅰ) 的 必须靠” 实对称 可对角化 “才定得下来 —— 只用迹和行列式是两个方程三个未知数,解不出。很多人卡在这里,就是漏了”相似保可对角化性”这一条。

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