可对角化的判定

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方法模板

一个定义,四条充分条件

定义(唯一的充要条件)

其中几何重数 。

四条充分条件(考场上按顺序试)

看到什么	结论	备注
个互异特征值	必可对角化	最常用,一眼可判
实对称矩阵	必可对角化,且可正交对角化	附带”特征值全实、不同特征值正交”
零化多项式 且 无重根	必可对角化	如 、、
个两两正交的非零特征向量	必可对角化(且 实对称)	正交 无关

这四条都只是充分条件

反过来不成立:可对角化的矩阵完全可以有重特征值( 就是),也完全可以不对称。判”不可对角化”时,必须回到几何重数,不能用这四条。

判”不可对角化”的标准流程(三阶最常考)

1. 求特征值,找出重根 (代数重数 );
2. 算 ;
3. 比较 与 :小于就不可对角化。

三阶选择题的三秒扫法

四个选项里,实对称和三个互异特征值(三角阵看对角线)的直接跳过。剩下的通常只有一两个候选,再对重特征值算一次秩。

更快的一条:上三角/下三角矩阵的对角线就是特征值。看到对角线上有重复数字,那个选项才值得动笔。

几何重数与代数重数的夹逼

左边的 1 也很有用

特征值一定至少配一个特征向量,所以 ——凡是特征值 存在, 就必然降秩。 这条常用来给抽象题的秩定上界。

右边这条不等式的证明超出考研要求,但结论要背熟:几何重数不会超过代数重数,只可能”不够”。

必考

880 第十四章基础选择 4

原题 下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( ).

A. 　B. C. 　D.

解析

答案 D。按”三秒扫法”逐项过:

• A: ,实对称,必可对角化。跳过。
• B: 下三角,对角线 互异,必可对角化。跳过。
• C: 不是三角阵,但 ,故 的几何重数 ;又 ,所以特征值是 , 的代数重数也是 2。相等,可对角化。
• D: 上三角,对角线 , 代数重数 2。而

不可对角化。 选 D。

C 和 D 是一对精心设计的对照

两者都有二重特征值 0,区别只在秩:(几何重数 2,够用)、(几何重数 1,不够)。秩越大,零空间越小,特征向量越不够 —— 这就是”秩 1 矩阵通常可对角化、秩 矩阵通常不可”的直观来源。

顺带记一条: 阶矩阵若 且 ,则必可对角化(特征值 ,几何重数 正好)。见秩1与结构型矩阵的谱。

1000 基础篇第5章 7

原题 下列矩阵中,不能相似对角化的是( ).

(A) 　(B) (C) 　(D)

解析

答案 D。与上题同构,但把”秩 1 / 秩 2”的对照换到了 C、D 上。

• (A): 实对称。可。
• (B): 上三角,对角线 互异。可。
• (C): 下三角,对角线 , 二重。

相等,可。

• (D): 下三角,对角线 , 二重。

不可。 选 D。

别把 和 搞混

(D) 里 是单重,不需要检查;要查的是二重的 。只有重特征值才可能出问题,单重特征值的几何重数必然恰是 1。 每次动笔前先圈出重根,能省一半计算。

880 第十四章基础选择 3

原题 设 ,,,则( ).

A. 与 相似, 与 不相似　B. 与 相似, 与 相似 C. 与 不相似, 与 相似　D. 与 不相似, 与 不相似

解析

答案 A。

关键: 已经是对角阵,所以”与 相似""特征值相同 且 可对角化”。 两个条件缺一不可 —— 这正是本题的全部考点。

特征值先对齐。 、 都是三角阵,对角线分别为 与 ; 的是 。三者特征值集合完全相同()。所以”特征值”这一关谁都过得去,胜负全在可对角化。

查 : 二重,

可对角化,故 。

查 : 二重,

不可对角化,故 。选 A。

特征值相同 相似

这是全章最重要的一条,也是四个选项存在的理由。、 特征值一模一样,一个与 相似、一个不相似。判”相似”必须查两件事:谱相同 + 每个重特征值的秩相同。

更精确的完整判据(三阶够用): 对每个 ,。见相似的判定与不变量。

和 的差别只在那个 1 的位置

把 1 放在 位置——它连接的是特征值 2 的行与特征值 1 的列,跨在两个不同特征值之间,不产生 Jordan 块; 把 1 放在 位置——两侧都是特征值 2,这才是真 Jordan 块。看到”上三角 + 对角线有重复数字”,要立刻去看重复数字之间那个位置上有没有非零元。

880 第十四章基础解答 8

原题 (Ⅰ) 设 是 阶实对称矩阵,且 ,,计算 ; (Ⅱ) 设 是 阶矩阵,且 ,,计算 .

解析

答案:两问答案完全相同,，(Ⅰ) 实对称版。

每个特征值满足 。实对称 可对角化,故

相似保秩,,所以 1 恰好出现 次。于是

(Ⅱ) 一般版——“实对称”这个条件其实是多余的。

关键在于: 无重根,由无重根零化多项式判据, 必可对角化,根本用不上对称性。其余推导逐字照抄 (Ⅰ)。

如果不想用”无重根”这条定理,也可以直接数几何重数:，而由秩不等式 ,两边夹得，于是 的几何重数 , 的几何重数 ,两者相加恰为 ,特征向量刚好凑满, 可对角化。

幂等矩阵的完整画像,值得整块背下来

( 称为幂等阵或投影阵)

• 特征值只有 ;
• 必可对角化,;
• ;
• (迹 = 秩,这是幂等阵独有的漂亮性质);
• 对任意多项式 。

同类还有对合阵 (,必可对角化)与幂零阵 ( 全为 0,一般不可对角化,除非 )。三者的对比见多项式、逆与伴随的特征值转移。

出题人把 (Ⅰ)(Ⅱ) 并排,就是要你发现条件多余

很多人做完 (Ⅰ) 会以为 (Ⅱ) 需要全新方法,于是卡住。正确的反应是:先问”(Ⅰ) 里的实对称到底用在哪一步” —— 只用在”保证可对角化”。而 自己就能保证这一点,所以 (Ⅱ) 是同一份答案。能识别出”条件多余”,本身就是本章的一个考点,在 1000 强化 3、1000 强化 9 里也出现过。

880 第十四章综合选择 8

原题 设 为 2 阶实矩阵, 与 是 的两个单位实特征向量,且满足 ,则( ).

A. 　B. 　C. 必相似于对角矩阵　D. 必与单位矩阵合同

解析

答案 C。

第一步:把范数条件翻译成正交。 展开两边平方:

两者相等 。

第二步:正交 无关。 是非零(单位)且正交的,故线性无关。

第三步: 阶矩阵有 2 个无关特征向量 可对角化。 选 C。

另外三个为什么错:

• A、B: 秩完全不受约束。 时 ; 时 (此时任意两个正交单位向量都是”特征向量”,特征值 0); 时 。三种秩都能实现,故 A、B 都不必然。
• D: “与单位矩阵合同”意味着正定,要求特征值全正。取 ,满足题设却不正定。假。

" "就是"垂直"的伪装

几何上:平行四边形两条对角线等长 它是矩形 两边垂直。看到这个式子,不必展开,直接写 。同类伪装还有 (勾股定理)。

这题反向也很有价值

由第三步还能再推一层: 有 2 个正交的特征向量 实对称(见下一题)。所以本题的 不仅可对角化,还必然是实对称阵。出题人没把这一步做成选项,但下一题专门考它。

1000 强化篇第8章 14

原题 设 是 3 阶实矩阵,则” 是实对称矩阵”是” 有 3 个相互正交的特征向量”的( ).

(A) 充分非必要条件　(B) 必要非充分条件　(C) 充分必要条件　(D) 既非充分又非必要条件

解析

答案 C(充要)。

充分性(实对称 有 3 个正交特征向量): 这是谱定理。实对称矩阵必存在正交矩阵 使 , 的三列就是 3 个两两正交的单位特征向量。

必要性(有 3 个正交特征向量 实对称): 这一半才是本题真正的考点,证明只有三行。

设 两两正交、非零,。单位化得 (仍是特征向量,正交性不变),令 ,则 是正交矩阵(),且，于是

( 是对角阵,。)故 实对称。

全部力气都在 这一步

若只知道 线性无关(不正交),则 ,而 ,转置后得不到 ,结论就塌了。“正交”这个条件的全部作用,就是把 换成 。

记住这条等价:实矩阵 对称 可正交对角化 有 个两两正交的特征向量。 三句话是同一件事。

别把它和"可对角化"混

“有 个无关特征向量” 可对角化(不要求对称); “有 个正交特征向量” 实对称(强得多)。 一字之差,结论天差地别。

1000 强化篇第8章 17

原题 设 是 阶方阵,满足 ,,. 证明 相似于对角矩阵 ,并求 .

解析

答案: 可对角化,且

思路:两个条件各贡献一批特征向量,秩之和恰好是 ,刚好凑满。

第一步: 给出 的特征向量。 由第11章” 的列都是 的解”:

即 的几何重数 。

第二步: 给出 的特征向量。 先转置,把它变成同样的形状:

于是 的列 ,而 ,故，第三步:夹逼。 记 分别为 的几何重数。不同特征值的特征向量线性无关,所以这两批向量合起来仍无关,总数不超过 :，三处取等,故 、,且 —— 恰好有 个线性无关的特征向量,可对角化, 如上。

"秩之和恰为 "是这类题的招牌

凡是题目给出若干个 型的条件,又给了一个”秩之和 “,几乎必然是这个套路:每个条件贡献一个特征子空间的维数下界,总维数上界是 ,一夹就死。

这与第13章抽象方程组:秩、伴随与 AB=O里的”秩词典 + 夹逼”是同一套动作,只是把”解空间”改叫”特征子空间”。

转置那一步千万不能省

里 在左边、 还带着转置,直接读不出任何关于 的信息。必须先转置成 ,让 站到左边,才能用”右因子的列是零空间里的向量”。

出题人特意把两个条件写成一左一右、一带转置一不带,就是在考这个动作。

1000 基础篇第5章 17

原题 已知 是 3 阶矩阵,,则 是 的特征值,其重数( ).

(A) 必为 2　(B) 可能为 2 或 3　(C) 可能为 1 或 2　(D) 可能为 1,2 或 3

解析

答案 B。

先定几何重数(它是确定的):，再看代数重数(它才是题目问的): 由夹逼 ,所以代数重数只可能是 2 或 3。两种都能实现:

• 代数重数 2: 取 ,,特征值 。
• 代数重数 3: 取 ,,特征值 。

选 B。

判据其实就是迹

时 的特征值必为 (见秩1与结构型矩阵的谱)。于是

• 是二重, 可对角化;
• 是三重, 幂零,不可对角化(除非 ,但 排除了这点)。

一个迹,把两种情形分得干干净净。

"重数"默认指代数重数

题干里的”重数”若不加限定,一律指特征多项式的根的重数,即代数重数。几何重数必须写全”几何重数”或”对应线性无关特征向量的个数”。读题时把这两个词分清楚,是本节所有题的前提。

拓展

1000 强化篇第8章 1

原题 设 均为 2 阶矩阵,,,,,则""是” 可以相似对角化”的( ).

(A) 充分非必要条件　(B) 必要非充分条件　(C) 充分必要条件　(D) 既非充分又非必要条件

解析

答案 A(充分非必要)。

先把 这个条件榨干。 2 阶矩阵的特征多项式是

判别式恒正 两个互异的实特征值,且乘积 一正一负。 同理。所以 各自都必可对角化,各有 2 个互异实特征值。

的谱。 是块上三角,故， 的 4 个特征值 = 的两个 的两个。

充分性: 可对角化。

反设 与 有公共特征值 。 的两根之和为 ,故另一根是 ; 的另一根是 —— 两个矩阵的特征值集合完全相同,于是，与 矛盾。所以 无公共特征值, 有 4 个互异特征值,必可对角化。✓

必要性不成立:举反例。 取

条件 、、 全部满足,而 。此时

本身就是对角阵,当然可对角化。所以” 可对角化”推不出""。✗

选 A。

充分性的证法值得单独记:"和相同 + 积不同 无公共根"

二次方程的两根由(和,积)唯一确定。若两个二次方程和相同、积不同,它们不可能共享任何一个根 —— 因为共享一根就会把另一根也逼成相同,进而积也相同。这个小引理在本题里承担了全部工作。

为什么必要性一定不成立

因为 可以取 。块对角阵的可对角化性只取决于两个对角块自己,与 的迹是否相同完全无关。凡是” 任意”的题,想否定必要性,第一反应就是令 。

880 第十四章综合解答 12 与 1000 基础篇第5章 14

原题(880 综合解答 12) 设 均是 阶矩阵.

(Ⅰ) 证明: 与 有相同的特征值; (Ⅱ) 若 ,且 有 个不同的特征值,证明: 相似于对角矩阵.

原题(1000 基础篇第5章 14) (1) 设 是 阶矩阵, 有特征值 . 证明 和 有相同的特征值且 ; (2) 对一般的 阶矩阵 ,是否必有 ,说明理由.

两题合看

880 的 (Ⅰ) 与 1000 的 (1) 是同一件事的两个版本:1000 版多给了” 可逆”(特征值 全非零),因此能推出更强的”相似”;880 版不给可逆,只能推”特征值相同”。1000 的 (2) 正好说明这个差距是本质的。下面一并解决。

解析

(A) 与 的特征值总是相同。

非零特征值部分。 设 是 的特征值,,。令 。

• 先证 : 若 ,则 ,而 逼出 ,与 矛盾。
• 再验 是 的特征向量:

故 也是 的特征值。反向把 对调即可。

零特征值部分。

两部分合起来, 与 的特征值完全相同。

(B) 可逆时,更强:。 直接构造相似变换:，取 即可。1000 版中 的特征值是 ,全非零,故 , 可逆。

(C) 一般情形 ——反例。 取 2 阶

两者特征值都是 (与 (A) 一致),但 ,秩不同,故不相似。

(D) 880 的第 (Ⅱ) 问: 且 有 个不同特征值 可对角化。

设 , 互异,故 无关、构成 的基。关键一步:，即 落在 的特征值 的特征子空间里。而 单重,该子空间是一维的 ,所以存在数 使，于是 也是 的 个线性无关的特征向量, 可对角化。

这条结论的完整形态:交换 可同时对角化

上面的证明其实还多给了一件事:同一个 把 和 一起对角化,

记住这个口诀:“可交换 = 有共同的特征向量组”。下一题就是它的选择题版本。

单重这一条不能丢

若 是二重的, 只知道落在那个二维特征平面里,未必是 的倍数,推理就断了。” 个不同特征值”这个条件把每个特征子空间压成一维,才让”落在里面”升级为”是倍数”。

1000 强化篇第8章 2

原题 以下两个矩阵,可用同一可逆矩阵 相似对角化的是( ).

(A) 　(B) (C) 　(D)

解析

答案 C。

判据: 四个选项里的矩阵全是实对称的,所以各自都可对角化。由上题的口诀,，于是只需逐项算两个乘积,看是否相等。

• (A): ,。不等。
• (B): ,。不等。
• (C): ,同样 。相等。✓
• (D): ,。不等。

选 C。

(C) 的真相:两个矩阵互为逆

说明 。而 与 的特征向量完全相同(特征值取倒数),当然可以用同一个 对角化。看到两个矩阵长得像”互逆”,先试着乘一下,常常一步到位。

快速识别:2 阶矩阵 的逆是 。(C) 中 ,, —— 正是 。

"都可对角化"是使用该判据的前提

” 可同时对角化”这句话,必须在两者各自都可对角化的前提下才成立。反例:、 显然可交换,但 根本不可对角化。

本题四个选项全部实对称,前提自动满足,所以可以放心只查交换性。换成一般矩阵,就必须先各自验一遍。

链接

• 方法总纲:可对角化判据与几何重数 · 多项式、逆与伴随的特征值转移
• 同章:具体矩阵求特征值与含参定值 · 相似的判定与不变量 · 不可对角化与 Jordan 链 · 实对称与正交对角化
• 上一章:第13章 抽象方程组:秩、伴随与 AB=O(秩词典与夹逼,1000 强化 17 直接沿用)
• 更早:第11章 秩的基本性质与 AB=O · 第11章 凑因式求逆
• 往后:第15章 二次型(实对称必可正交对角化是主轴定理的全部内容)
• 易错清单:第14章易错点