抽象方程组:秩、伴随与

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抽象题给不出具体数字,能用的只有秩。所以这一节的全部功夫就是:把题面的每句话都翻译成关于 的不等式,夹出确切的秩,再换算成解空间维数 。

翻译词典

题面说	翻译成
只有零解	( = 列数)
的基础解系有 个向量
	的列都是 的解,( = 的列数 = 的行数)
	,且 行满秩、 列满秩
对一切	,即
有 个线性无关的解

伴随矩阵三分法(必背)

配套的还有 。当 时它说的是 ,也就是:

的列向量都是 的解。

这条是”求 的基础解系”这类题的唯一入口。

秩的乘法上界

对 :乘积是 阶方阵,但秩最多是 。所以 时 必不可逆。反过来 时秩可以顶到 ,什么都断言不了。

上界能用,下界不能瞎用

永远成立;而 (Sylvester)要看清 是哪个维数。抽象题里先用上界卡死,不够再搬 Sylvester。

必考

880 第十三章基础选择 3 / 1000题基础篇 第4章 6

原题(880 版) 设 是 阶矩阵,若对任意的 维列向量 ,有 ,则 的基础解系所含解向量的个数 满足( ).

A. B. C. D.

原题(1000 版) 设 为 阶方阵, 为 的伴随矩阵,若对任一 维列向量 ,均有 ,则齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数 必定满足____.

解析

880 选 C;1000 填 。两题是同一道,只是问法不同。

第一步:“对任意 ” 是关键词。 取 依次代入, 恰是 的第 列,全为零,故，第二步:反查伴随三分法。 只能对应 。

第三步:换算。，所以 ,即 ,选 C。

为什么别的选项不行:

• 要 ,那时 可逆, ✗;
• 要 ,那时 ✗;
• 要 ,题目只保证 , 完全可以非零 ✗。

"对任意向量成立" 的标准动作

见到 对一切 成立,立刻取 得到 。同理 对一切 成立(实对称时)推出 。“任意”是用来取特殊值的,别当成抽象条件供着。

不等于

D 是最诱人的错项:很多人从 跳到” 一定也是零矩阵”。反例: 时取 ,, 但 ,此时 。

880 第十三章基础解答 6 / 1000题强化篇 第5章 1

原题(880 版) 设 阶矩阵 满足 , 为 的元素 对应的代数余子式,且 ,求方程组 的基础解系和通解.

原题(1000 版) 设 4 阶矩阵 不可逆,且元素 的代数余子式 ,若矩阵 的列向量组为 , 为任意常数,则方程组 的通解为( ).

A. B. C. D.

解析

这两题是同一个套路的一般版与具体版,一起看最省事。核心三步:定 → 找一堆现成的解 → 从中挑出足够多的无关向量。

第一步: 且某个代数余子式非零 。

代数余子式 意味着 有一个 阶子式非零,故 ;又 给出 。夹逼得，基础解系需要 个向量。

第二步:从 白捡 个解。，即 的每一列都是 的解。手上一下子有了 个解,而只需要 个无关的。

第三步:哪 列是无关的?看非零的那个代数余子式。

说的是”划掉第 行、第 列后剩下的 阶行列式非零”。这个 阶矩阵由 的除第 列外的所有列(限制在除第 行外的行上)构成,它满秩,所以这 个完整的列向量线性无关。

880 版(,划掉第 1 列): 基础解系为 ( 的后 列),通解，1000 版(,,划掉第 2 列): 基础解系为 ,通解 ,选 C。

下标怎么对

中,列下标 是被划掉的那一列,答案里就没有 。880 是 ,划掉 ;1000 是 ,划掉 ——选项 C 恰好是”少了 “的那个。行下标 在这里不影响答案(它决定的是划掉哪一行,而我们要的是列的无关性)。

"是解" + "个数够" 还差一步

从 只能得到” 的列都是解”。要它们构成基础解系,还必须 ① 无关(靠 )② 个数 (靠 )。三条凑齐才算完。少写哪一条都会被扣分。

反过来也成立

时 ,说明 的列也都成比例;而 说明 的列都是 的解。 的解空间恰好 1 维,所以 的每一列都是 基础解系的倍数。这条对偶结论在第11章伴随专题出现过,考场上两个方向都要能立刻反应。

1000题强化篇 第5章 2

原题 设 是 4 阶矩阵, 的伴随矩阵 ,,则方程组 的解为____.

解析

答案 。

思路:不去求 ,直接用 表示 。

第一步: 与 。 是上三角,，由公式 ,得 ,故 (实数范围内唯一)。顺带确认 , 可逆,方程组有唯一解。

第二步:。 由 得 。于是，第三步:算一次矩阵向量乘法。

不能省略推导

里的指数是 ,不是 。写成 就得到无理数,后面全错。 阶矩阵的伴随行列式是 次方,这个指数每年都有人写错。

有 求 相关的量,一律走

千万别真的去反解 (要对 再求一次伴随,四阶就是 16 个三阶行列式)。凡是题目给了 、问 或 、 之类,先由 拿到 ,再用 ,两步到底。

880 第十三章基础选择 5 / 1000题基础篇 第4章 3

原题 设矩阵 ,则( ).

A. 当 时, 必可逆 B. 当 时,必有 C. 当 时,必有 D. 当 时, 必有唯一解

原题(1000 版,选项顺序不同) 设 是 矩阵, 是 矩阵,则( ). A. 当 时,必有 ;B. 当 时, 必可逆;C. 当 时, 有唯一零解;D. 当 时,必有

解析

880 选 B,1000 选 A(是同一句话)。

是 阶方阵,而， 时: , 不满秩,故 , 必不可逆。B 对、A 错。

时: 上界 不再构成限制, 可以取到 ,也可以更小,什么都断言不了。举个能取满的例子:

此时 , 只有零解。这一个例子同时打掉 C(说 必成立)和 D(说 有唯一解——这句碰巧在此例中成立,但把 换成零矩阵就崩了,所以”必有”不成立)。

这类题只需要一个"胖瘦"直觉

把 的信息挤过 这个瓶颈再送回 。瓶颈比出口窄()时必然丢信息,乘积不可能满秩;瓶颈比出口宽()时可能不丢、也可能丢,取决于具体矩阵。所以""这一侧能下断言,""那一侧一律选不了。

"唯一解"的措辞陷阱

D 说 ” 必有唯一解”。齐次方程组永远有零解,所谓”唯一解”就是”只有零解”,即 。它不是恒成立的( 时 )。看到齐次方程组说”有唯一解”,先在心里换成”只有零解”再判断。

880 第十三章基础选择 6

原题 设矩阵 满足 ,其中 是单位矩阵, 与 为非零列向量,则下列选项中正确的是( ).

A. 方程组 有唯一解,方程组 有唯一解 B. 方程组 有无穷多解,方程组 有无穷多解 C. 方程组 仅有零解,方程组 有解 D. 方程组 有解,方程组 仅有零解

解析

答案 D。

第一步: 能榨出什么。，于是 且 。翻译成形状语言:

• 是 、秩 = 行数,即 行满秩;
• 是 、秩 = 列数,即 列满秩。

第二步:行满秩 / 列满秩各自管什么。

性质	管的是	结论
行满秩( = 行数)	相容性	恒成立 对任意右端都有解
列满秩( = 列数)	唯一性	只有零解

正好凑成 D 的两句话。✓

第三步:排除其余。 关键在于题目没说 ,只保证 。

• A: 唯一要求列数 ; 时是无穷多解 ✗
• B: 因 列满秩,至多一个解,不可能无穷多 ✗
• C: 只有零解同样要求 ✗;且 未必相容( 可以不在 的列空间里, 的列空间只有 维而 是 维)✗

把"满秩"拆成两半记

行满秩 一定有解(可能不唯一);列满秩 至多一解(可能没有)。 两者同时成立才是可逆(方阵)。这一句能秒杀本章大量选择题——遇到 型条件,先判出谁行满秩谁列满秩,答案基本就现形了。

1000题基础篇 第4章 17

原题 设 是 3 阶矩阵,齐次线性方程组 的解空间的维数为 2,,若 ,则齐次线性方程组 的解空间的维数为( ).

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

解析

答案 B。这题的妙处在于:参数 没给,却被条件唯一确定了。

第一步:。 特别地 。

第二步:。 于是 不可逆,。

第三步:用 解出 。

。

第四步:代回定 。

后两行成比例(都平行于 ),故 。

"参数没给全"往往说明它被条件锁死了

看到 悬着而题目又不问 ,不要慌——先把所有秩条件写下来,通常会逼出 这类等式把 解出来。这是抽象题的常见设计:参数是幌子,真正的信息在秩里。

不等于

从 只能得到上界。必须代回具体矩阵消元,才能确认 到底是 1 还是 2。若本题 在 时秩降到 1,答案就是 C 了。上界给候选,消元给答案。

拓展

1000题强化篇 第5章 4

原题 设 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵, 是 3 维非零列向量,,则 是方程组 有解的( ).

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

解析

答案 A。

第一步:认出 就是增广矩阵。 把两个条件摞成一个方程组,系数矩阵与增广矩阵分别是

于是判据就是标准的 。

第二步:夹出 的范围。 的前三行是 ,故，所以 。

第三步:充分性 ✓。 若 ,则由 得 ,方程组有解。

第四步:必要性 ✗ —— 举反例。 取

方程组为 ,有解 。而

有解但 ,故 不是必要条件。

综上是充分非必要条件,选 A。

分块矩阵先认身份,再套老判据

看着吓人,其实就是把 ” 与 合并”之后的增广矩阵。分块题的第一步永远是问:这个块矩阵在原问题里扮演什么角色? 认出来之后用的还是 这把老尺子。

"充分必要"型选择题必须两个方向都动手

充分性走秩的夹逼(两行推完),必要性必须举反例。只验一个方向就选 C,是这类题最常见的错法。构造反例时挑最简单的对角矩阵,几秒钟就能配出来。

880 第十三章综合选择 6

原题 设 是 矩阵,, 是与 都正交的两个不同的 维列向量, 是任意常数,则方程组 的通解为( ).

A. B. C. D.

解析

答案 A。

第一步:解空间是几维。 是 ,,故，通解只带一个参数,四个选项形状都对,又只能拼细节。

第二步: 的几何含义。 的行恰是 ,所以

题目说 都与所有 正交,所以 都在这条 1 维直线上:存在 与常数 使 ,,且 (因为 )。

第三步:谁保证非零。 通解要写成 ,所以那个”某”必须确定非零。

选项	表达式	是否恒非零
A		故 ✓
B		时为零 ✗
C		时为零 ✗
D		时为零 ✗

只有 A 靠""这个题设保证了非零。

"不同"这两个字是全题的题眼

题目特意写”两个不同的向量”,而没有写”非零”。这恰恰暗示:单个 可能是零向量,只有差才保证非零。这和本章开头880 基础选择 1 里” 保证 “是同一个套路——通解里的每个基向量都必须”确定非零”且”确定无关”。

行空间 ⊥ 解空间

的解空间 = 的行空间的正交补。行空间 维,正交补就 1 维。这条对偶关系是理解本题的最短路径,也在同解方程组那一节的”新方程必须落在行空间里”用过。

880 第十三章综合填空 2 / 综合解答 5

原题(填空版) 设 为实矩阵,且 ,其中 为 的代数余子式,,,则方程组 的解为____.

原题(解答版) 设 是 3 阶方阵,,且 ,其中 为 的代数余子式,,,求非齐次线性方程组 的解.

解析

两题共用一个核心翻译: 意味着 ,于是 是正交矩阵。

为什么。 按定义 (代数余子式矩阵的转置),即 的 元是 ,正是 的 元。故，填空版( 已给): , 正交。

解答版(要自己推 ): 两边取行列式,,即 ,故 或 。

若 ,则 ,从而 ;但 给出 。于是 。而三阶矩阵秩 时所有二阶子式为零,故全部代数余子式 ,即 ,与 矛盾。

所以 ,, 正交。

填空版的解。 正交矩阵的每一行、每一列都是单位向量。由 及第三行单位:；同理第三列单位给出 。于是 的第三列就是 ,即，方程 的解为 ( 可逆,解唯一)。

解答版的解。 注意 恰是 的第三列,即 。 可逆,故，两题答案相同:。

解答版更漂亮:根本不用管 长什么样

只要认出 ” 是 的第三列”,答案立刻是 ——正交性只用来保证 可逆(从而解唯一)。把右端认成”系数矩阵的某一列(或列的组合)“是本章第一节就强调过的免费特解,这里再次奏效。

是代数余子式矩阵的转置

而不是 。正因为多了这一次转置, 才推出 (而不是 )。这个转置漏掉,后面全盘错。

正交矩阵是第15章的老熟人

、行列向量都是标准正交组——这套语言在第12章正交化里建立,到第15章正交变换化二次型为标准形时会成为主角。本题算是它在方程组语境下的一次客串。

链接

• 方法总纲:抽象方程组的秩词典 · 伴随矩阵与分块求逆
• 同章:$A^{\mathrm T}A$ 型方程组 · 抽象分块方程组的同解判定 · 含参方程组的解的讨论
• 上一章:第12章 矩阵与向量组的联系
• 更早:第11章 伴随与分块矩阵运算(秩三分法的出处)· 秩的基本性质与 AB=O
• 易错清单:第13章易错点