考研笔记

含参二次型的正定范围

🏠 第15章概念导航 · 二次型题库

方法模板

一、两条路，看外形选

矩阵长相走哪条路
普通数字 + 一两个参数散落顺序主子式全正，联立不等式组取交集
、、平方和型直接读谱或 ，一步到位

二、顺序主子式法的三条纪律

正定
  1. 从 开始逐个算——中途某个 就可以停了；
  2. 最后取交集（同时成立），不是并集；
  3. 不能只算 。 只说明负特征值个数是偶数，不排除”两负一正”。

只查 的经典翻车

：，但 ，离正定十万八千里。行列式为正是必要条件，不是充分条件。

三、三个高频结构，谱直接读

外形谱正定条件
（ 阶，对角全 1、非对角全 ）（一重），（ 重）
（ 跑 的谱）
平方和 ——

型的正定区间要同时卡两头

两个特征值 与 随 反向移动： 太大时 转负， 太小时 转负。所以答案永远是一个有界区间，而且左端点 随 增大向 0 靠拢。

：；：；：。看到选项里同时有 和 ，就是在考你有没有数对阶数。

四、二次曲面版本： 表示椭球面

表示椭球面正定

所以”求 使某曲面是椭球面”与”求 使二次型正定”是同一道题的两种说法。（ 时改判负定； 时是锥面或单点。）

必考

880 第十五章基础填空 1

原题

已知二次型 正定，则 的取值范围为 ____．

解析

逐个算顺序主子式：

（恒成立）

取交集：

这里 的区间被 完全包含——但不能因此就只算

，所以最终答案由 决定。这是常见现象，不是通用规律：换一组数字， 完全可能给出更窄的区间。

稳妥做法：全算完再取交。三阶最多三个不等式，成本很低；漏算一个的代价是整题错。

880 第十五章基础选择 9

原题

若二次曲面 表示一个椭球面，则（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

右端 ，故

椭球面左端二次型正定

是分块对角，可以拆开看，也可以直接算顺序主子式：

在 （即 ）的前提下，。

取交集得 ，选 A。

选项 C 是"只算了 "的答案

恰好是 的解——出题人把中间步骤直接放进选项。做到一半就对号入座，是这类题最常见的失分方式。

反向验证 C 为什么不行：取 ，则 项系数为 ，曲面在 方向是双曲的，绝不是椭球面。对角元必须全正这条零成本必要条件本来就能一眼排除 。

1000 强化第 9 章 20

原题

二次型 正定的充要条件为（　）.

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析（结构识别，一步到位）

（3 阶全 1 阵）的谱是 ，故

谱一重二重

正定 两个都为正：且，选 (D)。

另解（顺序主子式，验算用）

且

交集 ✓ 与谱法一致。

干扰项 (C) 是" 的答案"

恰好是 正定的条件，也正是本题 的解。出题人同时埋了”数错阶数”和”只算到 “两个坑，它们的答案是同一个。

记住通式： 阶的 正定 。左端点随 变，右端点永远是 1。

1000 强化第 9 章 22

原题

设二次型 正定，则参数 的取值范围是（　）.

(A) 　(B) 　(C) 　(D) 为任意实数

解析

平方和型， 恒成立，所以

正定只有零解

沿第 1 行展开：

判别式 ，且首项系数为正，故对一切实数， 恒正定，选 (D)。

配成 比算判别式更有说服力

，一眼看出恒 。含参行列式化简完，先试着配方——若能配成”完全平方 正常数”，答案就是”任意实数”；若能配成”完全平方 正常数”，答案是挖掉两个点。

干扰项 (A) 正是使 取最小值的点——出题人把”顶点”放进选项，专门等着把不等式方向搞反的人。

拓展

880 第十五章拓展解答 4

原题

设 与 合同．

（I）求 的值； （II）若存在正交矩阵 ，使得 ，求 的值及 ； （III）对于（II）中的 ，若 ，其中 是 的伴随矩阵，求对角矩阵 ．

解析

先拆结构。， 的谱是 （特征向量分别是 与 ），故

谱二重

其中 对应 ， 对应平面 。

（I） ，合同同秩 ，即 恰有一个零特征值：

  • ，即 ：谱为 ， ✓
  • ，即 ：谱为 ， ✗（零特征值是二重的，秩掉到 1）

（顺带核对惯性指数： 时 ，而 要 需 ，合同确实可以成立。）

（II） 正交变换比合同强，要求谱逐个相同：

此时 。求特征向量：

方程特征向量
（二重）（已正交）
，即 方向

按 的顺序排列并单位化：

（III） 奇异（），所以不能用 。改用伴随的谱公式：若 ，则

（理由：，而 、，，两个符号抵消。）

代入 ：

于是

（自查：，而 ✓）

奇异时伴随的谱不能除以

只在 可逆时成立。奇异时正确的写法是乘积形式：

它对可逆与奇异一律适用，且立刻给出秩的三分法： 时 满秩； 时 秩为 1（只有一个 非零）； 时 （每个乘积里都至少含两个零）。

本题 ，果然只有一个非零的 。见 第13章 抽象方程组：秩、伴随与 AB=O。

三问是"合同 正交 伴随"的三级台阶

  • （I）只要合同：靠秩定 ，两个候选里筛掉一个；
  • （II）升级到正交：靠谱定 ，区间缩成一个点；
  • （III）再叠一层伴随： 与 共用同一组特征向量，所以同一个 把两者一起对角化，加法直接逐位相加。

第（III）问看着吓人，实际只是”在已经算好的对角阵上做一次逐位加法”——认出” 是 的有理式、特征向量全继承”这一条，题就结束了。

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