第15章 二次型 题库
题源：李林 880 第十五章（47 题）+ 张宇 1000 题基础篇第 6 章（27 题）+ 强化篇第 9 章（27 题），池 101 题，全部收录（100%），写成 101 个块锚点（1 组同源题两处挂锚共用一份解析）。必考 71 / 拓展 30。
本章是线代最规整的一章：题型高度集中在”化标准形—判合同—判正定”三条主线上，模板性极强。前六节吃透，本章就拿下八成。
一、二次型的矩阵、秩与平方和型
→ 题型笔记 · 把
必考
拓展
- 880 综合选择：9
二、标准形、规范形与惯性指数
→ 题型笔记 · 三个”形”的区别；纯交叉项的三招；三件套定号
必考
拓展
- 1000 强化第9章：5
三、正交变换化标准形
→ 题型笔记 · 五步流程；结构型读谱；已知标准形反求参数
必考
拓展
四、配方法与可逆线性变换
→ 题型笔记 ·
必考
拓展
五、合同的判定与过渡矩阵
→ 题型笔记 · 等价/相似/合同三判据；两段接力求
必考
拓展
六、正定的判定
→ 题型笔记 · 八条等价刻画；三个”差一个字就废”的坑
必考
拓展
七、含参二次型的正定范围
→ 题型笔记 · 顺序主子式取交集；
必考
拓展
- 880 拓展解答：4
八、二次型的最值与瑞利商
→ 题型笔记 ·
必考
拓展
九、二次曲面的分类
→ 题型笔记 · 符号分布查表；母线方向；先平移后转轴
必考
拓展
十、正定平方根与矩阵分解
→ 题型笔记 · 正定平方根唯一；一行公式；极分解
必考
十一、由谱反求二次型
→ 题型笔记 · 条件的八种伪装；
必考
拓展
十二、由 A 的谱推导出矩阵的规范形
→ 题型笔记 · 谱转移表；零化多项式定候选、秩/迹/行列式定重数
必考
拓展
- 880 综合选择：11
按来源反查
880 基础选择（9 题，全收）
880 基础填空（2 题，全收）
880 基础解答（7 题，全收）
880 综合选择（11 题，全收）
- 1 → 标准形与规范形
- 2 → 合同判定
- 3 → 二次曲面
- 4 → 正定判定
- 5 → 合同判定（拓展）
- 6 → 导出阵的规范形
- 7 → 合同判定
- 8 → 最值与瑞利商（拓展）
- 9 → 矩阵与秩（拓展）
- 10 → 最值与瑞利商（拓展）
- 11 → 导出阵的规范形（拓展）
880 综合填空（3 题，全收）
880 综合解答（10 题，全收）
- 1 → 配方法
- 2 → 由谱反求
- 3 → 由谱反求（拓展）
- 4 → 合同判定（拓展）
- 5 → 正交变换
- 6 → 正交变换
- 7 → 矩阵与秩
- 8 → 由谱反求
- 9 → 配方法
- 10 → 正交变换（拓展）
880 拓展选择（1 题，全收）
- 1 → 由谱反求
880 拓展解答（4 题，全收）
1000 基础第6章（27 题，全收）
- 1 → 标准形与规范形
- 2 → 标准形与规范形
- 3 → 矩阵与秩
- 4 → 正交变换
- 5 → 正交变换
- 6 → 矩阵与秩
- 7 → 正交变换（拓展）
- 8 → 合同判定
- 9 → 合同判定
- 10 → 正定判定
- 11 → 正定判定
- 12 → 平方根与分解
- 13 → 正交变换（拓展）
- 14 → 合同判定
- 15 → 合同判定
- 16 → 最值与瑞利商
- 17 → 配方法
- 18 → 合同判定（拓展）
- 19 → 配方法（拓展）
- 20 → 正交变换（拓展）
- 21 → 合同判定
- 22 → 正定判定
- 23 → 最值与瑞利商
- 24 → 由谱反求
- 25 → 正定判定（拓展）
- 26 → 二次曲面
- 27 → 二次曲面
1000 强化第9章（27 题，全收）
- 1 → 合同判定
- 2 → 导出阵的规范形
- 3 → 标准形与规范形
- 4 → 标准形与规范形
- 5 → 标准形与规范形（拓展）
- 6 → 矩阵与秩
- 7 → 导出阵的规范形
- 8 → 矩阵与秩
- 9 → 矩阵与秩
- 10 → 由谱反求
- 11 → 二次曲面（拓展）
- 12 → 矩阵与秩
- 13 → 由谱反求（拓展）
- 14 → 正交变换（拓展）
- 15 → 最值与瑞利商（拓展）
- 16 → 合同判定（拓展）
- 17 → 合同判定（拓展）
- 18 → 配方法（拓展）
- 19 → 正定判定（拓展）
- 20 → 含参正定
- 21 → 正定判定（拓展）
- 22 → 含参正定
- 23 → 正定判定（拓展）
- 24 → 平方根与分解
- 25 → 正定判定
- 26 → 二次曲面
- 27 → 二次曲面（拓展）
同源与跨题型说明
同源合并（1 组）
| 组 | 关系 | 处理 |
|---|---|---|
| 880 基础选择 3 ≡ 1000 基础 6-9 | 完全同题（“行列同时对换”），仅叙述顺序与选项措辞不同，答案都是 A | 两处挂锚，共用一份解析 |
多问跨题型（6 道，锚点只挂在主问所在的那一篇）
| 题 | 锚点所在 | 另一问所在 |
|---|---|---|
| 880 综合解答 6 | [[20-Problems/Math/Linear-Algebra/Chapter-15/topic-orthogonal-transformation-procedure | 正交变换]]（I：求 |
| 880 综合解答 8 | [[20-Problems/Math/Linear-Algebra/Chapter-15/topic-recover-quadratic-form-from-spectrum | 由谱反求]]（I：求 |
| 880 综合解答 9 | [[20-Problems/Math/Linear-Algebra/Chapter-15/topic-completing-square-and-invertible-transform | 配方法]]（I：求 |
| 880 拓展解答 3 | [[20-Problems/Math/Linear-Algebra/Chapter-15/topic-recover-quadratic-form-from-spectrum | 由谱反求]]（I：求 |
| 1000 强化 9-12 | [[20-Problems/Math/Linear-Algebra/Chapter-15/topic-quadratic-form-matrix-and-rank | 矩阵与秩]]（1：对称化 + 正交变换） |
| 1000 基础 6-15 与 1000 强化 9-1 | 两本书同一个 | 都在 [[20-Problems/Math/Linear-Algebra/Chapter-15/topic-congruence-judgment-and-transition-matrix |
未收录及理由
无。 池中 101 题全部收录，这是继第14章之后第二个零舍题的章节。
理由：第十五章的题型分布极其集中（三条主线 + 十二个题型全覆盖），几乎不存在”手法完全重复、信息量为零”的题。少数看似重复的含参正定题（880 基础填空 1、880 基础选择 9、1000 强化 9-20）刻意保留——顺序主子式取交集这套计算必须靠反复做成手上功夫。
复习顺序
第一轮（打地基，约 40 题）
第二轮（拉开差距，约 40 题）
第三轮（综合与应用，约 21 题）
考前回扫：只看 易错清单 的前八条 + 各节”方法模板”里的表格。
与第14章的关系
本章约有一半的题在复用第14章的计算：
| 第14章学的 | 第15章的用法 |
|---|---|
| 实对称必可正交对角化 | 主轴定理——本章第三节的全部内容 |
| 因 | |
| 谱分解 | 反求 |
| 含参正定、二次曲面判型的第一快捷键 | |
| 伴随的谱 | 由伴随条件反求特征向量； |
| 零化多项式定候选、秩定重数 | 第十二节的全部内容 |
| 求合同变换矩阵 |
如果第14章扎实，本章的新东西其实只有三样：惯性定理、正定的判定、瑞利商。
链接
- 概念导航：第15章 二次型 概念导航
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- 更早：第13章 线性方程组 · 第12章 向量 · 第11章 矩阵 · 第10章 行列式
- 几何入口：线性代数的本质：直觉复习地图
- 易错清单：第15章易错点